Глава VII Кинетические свойства твёрдых тел
Кинетическими явлениями или явлениями переноса называют явления, связанные с движением свободных носителей заряда, происходящими под действием электрических и магнитных полей или в результате наличия градиента температуры. К ним относятся электропроводность, термоэлектрические, гальваномагнитные и термомагнитные явления.
Большинство кинетических явлений весьма чувствительно к характеру взаимодействия электронов проводимости с примесями, с колебаниями решётки, друг с другом. В частности от этого взаимодействия зависит температурный ход кинетических коэффициентов.
§1. Электропроводность
Если два конца длинной металлической проволоки, например медной, соединить с батареей или с каким – нибудь другим источником электродвижущей силы, то по проволоке от положительной к отрицательной клемме потечёт ток I . Можно непосредственно проверить, что при постоянной температуре вдоль проволоки отношение
,
которое называется электрическим сопротивлением проволоки и не меняет своего значения. В этом и состоит закон Ома, как говорят, в интегральной форме. В дифференциальной форме этот же закон записывается в виде
,
(7.1.1)
где J
– плотность тока, E
– напряжённость электрического
поля. Коэффициент пропорциональности
между этими величинами
– называется электропроводностью
(или проводимостью) и для большинства
материалов является скалярной величиной.
Различие между проводниками и изоляторами
сводится просто к разнице в величине
.
Для металлов она порядка
,
для хороших изоляторов
(или меньше). Плотностью тока называется
величина равная количеству заряда,
протекающего через единичную площадку
в единицу времени. Пусть в единице объёма
проволоки с поперечным сечением S=1
и длиной l имеется
N электронов и
каждый из них перемещается со скоростью
,
которая накладывается на мгновенную
хаотическую скорость их теплового
движения. Тогда
,
а
.
(7.1.2)
Так как разность
потенциалов V создаёт
электрическое поле, напряжённость
которого
,
закон Ома можно переписать в виде
,
где
– удельное сопротивление, определяемое
выражением
,
т.е.
.
Желательно было бы: первое – вывести закон Ома исходя из микроскопической атомной структуры вещества и второе – вычислить проводимость для различных материалов.
Впервые гипотеза, объясняющая высокую электропроводность и теплопроводность металлов наличием свободных электронов, была выдвинута Друде задолго до появления квантовой теории. Предполагалось, что свободные электроны в металлах можно рассматривать как идеальный газ свободных частиц, подчиняющихся статистике Максвелла – Больцмана в тепловом равновесии. Приведённый в результате приложения поля и (или) градиента температур в неравновесное состояние, этот газ подвержен столкновениям, которые и возвращают его распределение в равновесное состояние. Предполагалось также, что в каждом столкновении электрон теряет любую энергию, полученную от поля, и начинает движение сначала. Энергия, потерянная в этих столкновениях, повышает тепловую энергию колебаний решётки положительных ионов.
Вычислим
электропроводность металла в этом
приближении. На каждый электрон в
проводнике действует сила
,
которая сообщает ему ускорение
.
(7.1.3)
Здесь m
– масса электрона. После кратковременного
ускорения, занимающего в среднем время
,
электрон неупруго сталкивается,
полностью теряя набранную скорость, и
начинает двигаться сначала. Таким
образом, он движется в направлении
действия силы со средней скоростью
дрейфа
,
равной
.
Эта величина пропорциональна электрическому полю, и поэтому закон Ома можно записать в виде
.
(7.1.4)
Пусть – средняя длина свободного пробега электрона, то, используя классическую статистику, можно получить среднее время свободного пробега
,
где
–
средняя квадратичная скорость. Таким
образом, мы получаем
.
(6.1.5)
Принимая
длину свободного пробега равной
межатомному расстоянию, например, для
меди
для комнатной температуры
,
можно получить
.
Это значение оказывается в хорошем
согласии с экспериментом. Однако,
поскольку длина свободного пробега
слабо зависит от температуры, то
предсказанная зависимость
отличается от проводимости
,
наблюдавшейся в эксперименте. Кроме
того, вычисление удельной теплоёмкости
кристалла, показывает неправомерность
классического рассмотрения электронного
газа. Для него необходимо использовать
статистику Ферми – Дирака.
Далее. Обозначим
среднее время между двумя столкновениями
как
.
Интервал времени
называют временем релаксации. С
учётом этого обозначения и введения
эффективной массы
выражение для электропроводности
примет вид
.
(7.1.6)
Проводимость пропорциональна квадрату заряда, и, следовательно, для закона Ома несущественно, какие заряды – положительные или отрицательные – являются носителями тока.