- •Физика конденсированного состояния вещества
- •Вводная глава
- •§1. Понятие пространства и времени.
- •§2.Масса, энергия, относительность
- •§3.Симметрия и асимметрия в неживой природе.
- •Глава I. Абстрактные группы
- •§1.Группа
- •§2.Сдвиг по группе
- •§3.Подгруппа
- •§4.Сопряжённые элементы и класс
- •§5.Инвариантная подгруппа
- •§6.Фактор – группа
- •§7. Изоморфизм и гомоморфизм групп
- •§8. Представления групп
- •§9. Характеры представлений
- •§10.Регулярное представление
- •§11. Примеры групп имеющих, приложение в физике
- •§12.Теория групп и квантовая механика
- •Глава II.Описание структуры кристаллов
- •§1.Общие свойства макроскопических тел
- •§2. Точечные группы.
- •§3. Симметрия кристаллов
- •§4.Сингонии.
- •§5.Неприводимые представления группы трансляций
- •§5.Конкретные примеры прямой и обратной решёток
- •1) Прямые решётки.
- •§6.Обозначения узлов, направлений и плоскостей в кристалле
- •§7.Определение структуры кристаллов.
- •§8. Атомный и геометрический структурный факторы
- •Глава III Движение электрона в периодическом поле
- •§1. Адиабатическое приближение
- •§2. Уравнения Хартри
- •§3 Уравнения Хартри-Фока
- •§4.Обменное взаимодействие
- •§5. Кристаллический потенциал и свойства симметрии гамильтониана
- •§6. Теорема Блоха
- •§7. Одноэлектронное уравнение Шрёдингера
- •§8. Приближение свободных электронов
- •§9. Плотность состояний
- •§10. Эффективная масса электронов
- •§11.Приближение почти свободных электронов
- •§12.Метод сильной связи
- •§13. Поверхность Ферми
- •§14. Химический потенциал и физическая статистика
- •Глава IV. Силы связи в кристаллах
- •§1. Силы Ван - дер – Ваальса
- •§2. Ионные кристаллы
- •§3.Ковалентная связь
- •§4. Металлическая связь
- •§5.Водородная связь.
- •Глава V. Динамика решётки.
- •§1. Силы упругости в кристаллах.
- •§2.Колебания и волны в одномерной атомной цепочке.
- •§3. Колебания и волны в двухатомной одномерной цепочке
- •§ 4.Нормальные колебания в трёхмерных кристаллах
- •§5. Понятие о фононах
- •§6.Спектр нормальных колебаний решётки.
- •§7.Теплоёмкость твёрдого тела
- •§8.Теплоёмкость электронного газа
- •Глава VI. Физика полупроводников
- •§1.Собственные полупроводники
- •§2. Примесные полупроводники
- •§3.Статистика электронов и дырок в полупроводниках
- •§4.Положение уровня Ферми и концентрация носителей в собственных полупроводниках
- •§5. Положение уровня Ферми и концентрация носителей в примесных полупроводниках.
- •Глава VII Кинетические свойства твёрдых тел
- •§1. Электропроводность
- •§2. Вычисление времени релаксации
- •§3. Кинетическое уравнение Больцмана
- •§4.Статическая проводимость
- •§5. Классическая теория электропроводности в магнитном поле
- •Глава VIII Растворы и химические соединения Введение
- •§1. Фазовая диаграмма.
- •§2. Упорядоченные растворы.
- •§3.Фазовые превращения.
- •§4. Типы фазовых диаграмм.
- •§5. Системы с образованием химических соединений
- •§6. Сплавы типа растворов внедрения.
- •§7. Упорядочение в сплавах
- •§8. Электронное строение сплавов и неупорядоченных систем
- •§9. Ближний порядок в сплавах
- •§10. Статистическая теория ближнего порядка
- •§11. Факторы, обусловливающие ближний порядок
- •Глава IX.Строение жидкостей и аморфных тел
- •§1. Особенности твёрдого, жидкого и газообразного состояний вещества
- •§2. Радиальные функции распределения межатомных расстояний и атомной плотности
- •§3. Функции распределения в статистической физике
- •§4.Уравнение для бинарной функции распределения
- •§5. Решение уравнения для бинарной функции распределения
- •§6.Уравнение Перкуса – Йевика
- •Глава X.Элементы физики жидких кристаллов Введение
- •§1.Классификация жидких кристаллов
- •2.Смектики c.
- •Смектики b.
- •Заключение. Фуллерены. Углеродные нити
§4.Статическая проводимость
Имея в распоряжении выражение (7.3.12) нетрудно рассчитать плотность тока в металлах и полупроводниках в постоянном электрическом поле E.
Металлы
Плотность тока J определяется выражением
.(7.4.1)
Сила F в (6.3.12), действующая на электрон в электрическом поле равна . Тогда для стационарной плотности тока, получаем
. (7.4.2)
В этом случае проводимость, характеризующая отклик электрона на внешнее поле определяется тензором статической проводимости и определяется соотношением
,
и имеет следующий вид
. (7.4.3)
Наличие производной по энергии от функции распределеиия в этом интеграле удобнее перейти к интегрированию по поверхности постоянной энергии с помощью замены
, (7.4.4)
где dS – элемент поверхности постоянной энергии E, перпендикулярный к нормали этой поверхности (см. рис)
Такая замена связана с тем, что производная от функции распределения ведёт себя как – функция с центром при энергии Ферми , симметричную относительно , и имеющего ширину , как показано на рис.
Тогда тензор электропроводности можно представить в виде
, (7.4.5)
где интеграл берётся по изоэнергетической поверхности с энергией Ферми.
Как уже отмечали в изотропных материалах, например, с кубической симметрией, выражения для плотности тока не зависят от направления поля и, следовательно, не меняется при усреднении по всем направлениям поля относительно кристаллических осей. Усреднение выражения плотности тока добавляет множитель 1/3. Тогда
(7.4.6)
Отсюда следует, что тензор статической электропроводности становится скаляром
, (7.4.7)
где – площадь поверхности Ферми, – среднее время релаксации, – средняя скорость на поверхности Ферми, – усреднённое по поверхности Ферми значение длины свободного пробега. Формула (7.4.7) представляет стандартное выражение для статической проводимости в изотропных материалах, справедливое при любой форме поверхности Ферми. Из него также следует, что материалы, у которых поверхность Ферми отсутствует – её площадь равна нулю, их проводимость также равна нулю. Как мы знаем, таким свойством обладают полупроводники и диэлектрики.
Полупроводники
Электронный газ в полупроводниках является невырожденной системой и поэтому функция распределения мала, т. е. . В этом случае удобнее начать вычисление электропроводности с интеграла столкновений, что приводит нас к выражению
. (7.4.8)
Учитывая, что функции распределения удовлетворяет условию и соотношение для среднего значения тепловой энергии
Для проводимости можно написать
, (7.4.9)
где
(7.4.10)
Есть усреднённое по энергетическому распределению время релаксации. Выражение (6.4.9) часто записывают в виде
, (7.4.11)
где – подвижность электронов (дрейфовая скорость в единичном поле). Если проводимости тока участвуют электроны и дырки одновременно, их электропроводность суммируется, так как оба вклада пропорциональны квадрату заряда
. (7.4.12)
Это соотношение справедливо, если оба типа носителей имеют одинаковое время релаксации. Заметим, что проводимость всегда имеет положительный знак, не зависящий от знака носителей тока. Для полупроводников с собственной проводимостью выражение (6.4.12) можно упростить. Поскольку – то
Температурная зависимость величины для полупроводников с собственной проводимостью определяется, следовательно, двумя факторами: температурной зависимостью числа электронов проводимости, переброшенных через запрещённую зону, и характером изменения подвижностей носителей тока с температурой.
В общем случае подвижность (и электропроводность) в полупроводниковых кристаллах является тензором. Но так как в кристаллах типа кремния и германия имеются симметричные эквивалентные долины в энергетическом спектре, то подвижность (и электропроводность) усредняется и оказывается изотропной
,
где – подвижность (проводимость) электронов по одному из направлений.