- •Глава 2. Вызначаны інтэграл
- •§1. Раўнамерная непарыўнасць функцыі
- •Геаметрычгы сэнс раўнамернай непарыўнасці функцыі
- •§2. Паняцце вызначаннага інтэграла п1. Задачы, якія прыводзяць да вызначанага інтэграла
- •П2. Паняцце вызначанага інтэграла
- •§3. Сумы Дарбу і іх уласцівасці п1. Паняцце сум Дарбу
- •§4. Неабходныя і дастатковыя ўмовы інтэгравальнасці функцый. Класы інтэгравальных функцый
- •Класы інтэгравальных функцый
- •§5. Уласцівасці вызначанага інтэграла
- •§6. Вызначаны інтэграл са зменнай верхняй мяжой. Існаванне першаіснай непарыўнай функцыі. Формула Ньютана - Лейбніца
- •§7. Метады інтэгравання вызначаных інтэгралаў
- •§9. Квадравальныя фігуры п1. Плошча мнагавугольніка і яе ўласцівасці
- •П2. Паняцце квадравальнай фігуры
- •П3. Крытэрыі квадравальнасці фігуры
- •§10. Вылічэнне плошчаў фігур п1. Плошча фігуры ў дэкартавай сістэме каардынат
- •§11. Кубавальныя целы п1. Паняцце мнагагранніка і яго уласцівасці
- •П2. Паняцце кубавальнага цела
- •П3. Крытэрыі кубавальнасці цела
- •§12. Вылічэне аб’ёмаў некаторых целаў п1. Аб'ём прамога цыліндра
- •П2. Аб'ём с-цела
- •§13. Даўжыня дугі крывой п1. Даўжыня дугі ў дэкартавых каардынатах
- •П2. Даўжыня дугі ў палярных каардынатах
- •§14. Плошча паверхні абароту
- •§15. Неўласцівыя інтэгралы п1. Неўласцівыя інтэгралы на неабмежаваных прамежках (інтэгралы і роду)
- •П3. Неўласцівыя інтэгралы ад неабмежаваных функцый (інтэгралы другога роду)
- •П4. Прыкметы збежнасці неўласцівых інтэгралаў іі роду
- •Прыклад.
Глава 2. Вызначаны інтэграл
§1. Раўнамерная непарыўнасць функцыі
Няхай функцыя f непарыўная ў некаторым пункце хо мноства Х, г.зн. (xX)(x xo)f(x) f(xo) . (1)
Вядома, што залежыць ад выбара ліку . Але можна паказаць, што залежыь і ад выбар пункта хо,у якім азначана непарыўнасць функцыі f (самастойна “К.мат.ана.”, т.1, гл.IY, §12).
Узнікае пытанне: ці існуе непарыўная на прамежку Х функцыя , для якой для кожнага > 0 можна знайсці адпаведнае > 0, якое бы не залежыла ад зменнай х, г.зн. адно і тояжа для ўсіх пунктаў х Х ?
Адказ у азначэнні раўнамернай непарыўнасці функцыі.
Азначэнне 1. Функцыя f называецца раўнамерна непарыўнай на прамежку Х, калі для кожнага > 0 знойдзецца такое > 0, што для любых двух пунктаў х1, х2 Х, якія задавальняюць няроўнасці x1 x2, выконваецца няроўнасць f(x1) f(x2) :
(x1,х2X)(x1 x2)f(x1 f(x2) . (2)
Заўвага. Калі функцыя f раўнамерна непарыўная на прамежку Х, то яна і непарыўная ў кожным х Х.
Геаметрычгы сэнс раўнамернай непарыўнасці функцыі
Уявіце сябе тонкі , але цвёрды прут. Трэба зрабіць муфту даўжыні з цыліндрычнай адтуліна й дыяметра , якая магла бы легка рухацца ўздоўж прута ад пункта А(a,f(a)) да пункта В(b,f(b)) і занімала становішча, пры якім яе вось была паралельна восі Ох. Даўжыня залежыць толькі ад - дыяметра адтуліны. Чым меней , тым карацей муфта.
Рысунак.
Тэарэма Кантара. Калі функцыя f непарыўная на адрэзку [a,b], то яна раўнамерна непарыўная на гэтым адрэзку.
метадам ад працілеглага.
Няхай функцыя f непарыўная на адрэзку [a,b], але не з’яўляецца раўнамерна непарыўная на гэтым адрэзку. Гэта значыць, што для некаторага > 0 і любога як мага малога > 0, знойдуцца два пункты х1, х2 [a,b] такіе, што з няроўнасці x1 x2 няроўнасць f(x1) f(x2) . (3)
Выбярэм бясконца малую паслядоўнасць . Будзем сцвярджаць, што для заданага > 0 і любога n N знойдуцца два пункты х1n, х2n [a,b] такіе,што для іх выконваецца няроўнасць x1n x2nn= , (4)але няроўнасць f(x1n) f(x2n) (3*). Мы атрымалі на адрэзку [a,b] дзве паслядоўнасці (х1n) (5) , (х2n) (6). Будзем лічыць, што паслядоўнасць (5) збягаецца да ліку хо [a,b], г.зн. х1n - хо 0, калі n (7). Пакажам, што і паслядоўнасць (6) збягаецца да хо, г.зн., што х2n - хо 0, калі n .
х2n - хо = х2n + x1n - x1n - хо х2n – хo х2n - x1n + x1n - хо.
Адпаведна няроўнасці (4) і сцвярджэння (7) х2n - x1n , х1n -х о 0 х2n хо. Мы даказалі, што абедзве паслядоўнасці (х1n) і (х2n) збягаюцца да аднаго ліку х о. Паслядоўнасці (х1n) і (х2n) абмежаваныя і таму для іх працуе тэарэма Бальцана-Кашы, г.зн. можна вылучыць збежныя падпаслядоўнасці (х1nk) i (х2nk), якія таксама збягаюцца да хо. Паколькі фуекцыя f непарыўная ў кожным пункце адрэзка [a,b], то яна непарыўная і ў пункце хо. Адпаведна азначэння паводле Гайнэ паслядоўнасці значэнняў функцыі (f(х1nk)) i (f(х2nk)) павінны імкнуцца да f(хо), а іх рознасць f(х1nk) f(х2nk) , калі n . Гэта супярэчыць няроўнасці (3*): f(x1n) f(x2n) n у тым ліку і для nk.
Атрыманая супярэчнасць даказвае памылковасць дапушчэння аб тым, што функцыя f не з’яўляецца раўнамерна непарыўнай.