- •Глава 2. Вызначаны інтэграл
- •§1. Раўнамерная непарыўнасць функцыі
- •Геаметрычгы сэнс раўнамернай непарыўнасці функцыі
- •§2. Паняцце вызначаннага інтэграла п1. Задачы, якія прыводзяць да вызначанага інтэграла
- •П2. Паняцце вызначанага інтэграла
- •§3. Сумы Дарбу і іх уласцівасці п1. Паняцце сум Дарбу
- •§4. Неабходныя і дастатковыя ўмовы інтэгравальнасці функцый. Класы інтэгравальных функцый
- •Класы інтэгравальных функцый
- •§5. Уласцівасці вызначанага інтэграла
- •§6. Вызначаны інтэграл са зменнай верхняй мяжой. Існаванне першаіснай непарыўнай функцыі. Формула Ньютана - Лейбніца
- •§7. Метады інтэгравання вызначаных інтэгралаў
- •§9. Квадравальныя фігуры п1. Плошча мнагавугольніка і яе ўласцівасці
- •П2. Паняцце квадравальнай фігуры
- •П3. Крытэрыі квадравальнасці фігуры
- •§10. Вылічэнне плошчаў фігур п1. Плошча фігуры ў дэкартавай сістэме каардынат
- •§11. Кубавальныя целы п1. Паняцце мнагагранніка і яго уласцівасці
- •П2. Паняцце кубавальнага цела
- •П3. Крытэрыі кубавальнасці цела
- •§12. Вылічэне аб’ёмаў некаторых целаў п1. Аб'ём прамога цыліндра
- •П2. Аб'ём с-цела
- •§13. Даўжыня дугі крывой п1. Даўжыня дугі ў дэкартавых каардынатах
- •П2. Даўжыня дугі ў палярных каардынатах
- •§14. Плошча паверхні абароту
- •§15. Неўласцівыя інтэгралы п1. Неўласцівыя інтэгралы на неабмежаваных прамежках (інтэгралы і роду)
- •П3. Неўласцівыя інтэгралы ад неабмежаваных функцый (інтэгралы другога роду)
- •П4. Прыкметы збежнасці неўласцівых інтэгралаў іі роду
- •Прыклад.
§7. Метады інтэгравання вызначаных інтэгралаў
Метад інтэгравання па частках
Тэарэма 1. Няхай функцыі u i v непарыўныя разам са сваімі вытворнымі на адрэзку [a,b], тады мае месца формула
= uvab - . (1)
Доказ зрабіць самастойна.
Прыклад.
Метад інтэгравання заменай зменнай
Тэарэма 2. Няхай функцыя f непарыўная на адрэзку [a,b], функцыя x = u(t) мае ўласцівасці:
непарыўная разам з вытворнай u(t) на адрэзку [,];
t [,] значэнні функцыі u(t) не выходзяць за межы адрэзка [a,b];
u() = a, u() = b.
Тады мае месца формула:
= . (2)
Прыклады.
Інтэгральнае аэначэнне лагарыфма
У главе “Элементарныя функцыі” лагарыфмічная функцыя разгладалася як адваротная да паказнікавай.
Азначэнне 1. Лагарыфмам ліку x > 0 па аснове е называецца і абазначаецца lnx = . (1)
Азначэнне 2. Функцыя, значэнні якой можна знайсці па формуле (1), называецца лагарыфмічнай па аснове е і абазначаецца lnx, а азначэнне , якое задана раўнаннем (1), называецца інтэгральным азначэннем лагарыфма.
Па т.1 §6 (lnx)’ = ( )’ = 1/x.
§9. Квадравальныя фігуры п1. Плошча мнагавугольніка і яе ўласцівасці
Азначэнне 1. Мнагавугольнікам называецца фігура РR2, якую можна прадставіць у выглядзе аб’яднання концавага ліку трохвугольнікаў, якія не маю агульных нутраных пунктаў.
Прыклад.
Плошчу мнагавугольніка абазначым S(P).
У курсе геаметрыі было даказана, што існуе адзінае адлюстраванне S мноства мнагавугольнікаў у мноства сапраўдных лікаў, якое мае наступныя ўласцівасці:
1. Неадмоўнасць: для кожнага мнагавугольніка S(P) 0.
2. Інварыянтнасць: калі А = В, то S(А) = S(В).
3. Адытыўнасць: калі А і В не маюць агульных нутраных пунктаў, то S(АВ) = S(А) + S(В).
4. Нармаванасць: існуе мнагавугольнік адзінкавай плошчы
(,S(А)= 1), які называецца адзінкавым квадратам.
5. Манатоннасць: калі А В , то S(А) S(В).
П2. Паняцце квадравальнай фігуры
Няхай Р – фігура ў прасторы R2: P R2. Праз мноствы {A} i {B} абазначым адпаведна мноствы мнагавугольнікаў, якія змяшчаюцца ў Р і якія змяшчаюць Р: {A}Р, {В} Р, а праз S(А) і S(В) – адпаведна плошчы такіх мнагавугольнікаў.
Паколькі кожны мнагавугольнік А змяшчаецца ў В, то А В і па ўласцівасці манатоннасці S(А) S(В) (1). Гэта значыць, што мноства {S(A)} абмежавана зверху плошчай любога мнагавугольніка В, а мноства {S(В)} абмежавана знізу плошчай любога мнагавугольніка А.
Абазначым sup{ S(А) } = S*(P) (2) , inf {S(В)} = S*(P) (3). Па уласцівасці sup і inf:
S(А) S*(P), S(В) S*(P) S*(P) S*(P).
Заўвага 1. Калі фігура Р не змяшчае ні воднага мнагавугольніка, то будзем лічыць, што S*(P) = 0, клі няма мнагавугольнікаў, якія змяшчаюць Р, то S*(P) = 0.
Азначэнне 2. S*(P) называецца нутраной плошчай (нутраной мерай) фігуры Р, а S*(P) – вонкавай плошчай (вонкавай мерай) фігуры Р.
Азначэнне 3. Калі выконваецца роўнасць S*(P) = S*(P) = S(P) (4), то фігура Р называецца квадравальнай, а лік S(P) – плошчай фігуры Р.
Азначэнне 4. Адлюстраванне (функцыя) S мноства квадравальных фігур у мноства сапраўдных лікаў: S : {P} R, якое мае уласцівасці (1-5) называецца плошчай на класе квадравальных фігур.
Прыклады.