- •Глава 2. Вызначаны інтэграл
- •§1. Раўнамерная непарыўнасць функцыі
- •Геаметрычгы сэнс раўнамернай непарыўнасці функцыі
- •§2. Паняцце вызначаннага інтэграла п1. Задачы, якія прыводзяць да вызначанага інтэграла
- •П2. Паняцце вызначанага інтэграла
- •§3. Сумы Дарбу і іх уласцівасці п1. Паняцце сум Дарбу
- •§4. Неабходныя і дастатковыя ўмовы інтэгравальнасці функцый. Класы інтэгравальных функцый
- •Класы інтэгравальных функцый
- •§5. Уласцівасці вызначанага інтэграла
- •§6. Вызначаны інтэграл са зменнай верхняй мяжой. Існаванне першаіснай непарыўнай функцыі. Формула Ньютана - Лейбніца
- •§7. Метады інтэгравання вызначаных інтэгралаў
- •§9. Квадравальныя фігуры п1. Плошча мнагавугольніка і яе ўласцівасці
- •П2. Паняцце квадравальнай фігуры
- •П3. Крытэрыі квадравальнасці фігуры
- •§10. Вылічэнне плошчаў фігур п1. Плошча фігуры ў дэкартавай сістэме каардынат
- •§11. Кубавальныя целы п1. Паняцце мнагагранніка і яго уласцівасці
- •П2. Паняцце кубавальнага цела
- •П3. Крытэрыі кубавальнасці цела
- •§12. Вылічэне аб’ёмаў некаторых целаў п1. Аб'ём прамога цыліндра
- •П2. Аб'ём с-цела
- •§13. Даўжыня дугі крывой п1. Даўжыня дугі ў дэкартавых каардынатах
- •П2. Даўжыня дугі ў палярных каардынатах
- •§14. Плошча паверхні абароту
- •§15. Неўласцівыя інтэгралы п1. Неўласцівыя інтэгралы на неабмежаваных прамежках (інтэгралы і роду)
- •П3. Неўласцівыя інтэгралы ад неабмежаваных функцый (інтэгралы другога роду)
- •П4. Прыкметы збежнасці неўласцівых інтэгралаў іі роду
- •Прыклад.
П3. Крытэрыі квадравальнасці фігуры
Тэарэма 1 (у тэрмінах мнагавугольнікаў). Для таго, каб фігура Р была квадравальнай і мела плошчу S(P), неабходна і дастаткова, каб існавалі дзве паслядоўнасці мнагавугольнікаў (An) i (Bn), якія адпаведна змяшчаюццца і змяшчаюць фігуру Р такія, што .
Тэарэма 2 (у тэрмінах квадравальных фігур). Для таго, каб фігура Р была квадравальнай, неабходна і дастаткова каб існавалі дзве паслядоўнасці квадравальных фігур (Qn) i (Pn), якія адпаведна змяшчаюццца і змяшчаюць фігуру Р такія, што . (без доказа)
§10. Вылічэнне плошчаў фігур п1. Плошча фігуры ў дэкартавай сістэме каардынат
Няхай фігура Р – крывалінейная трапецыя - фігура, абмежаваная прамымі х = а, х = b, y = 0, графікам функцыі y = f(x) (f(x) x [a,b]).
Тэарэма 1. Крывалінейная трапецыя – квадравальная фігура і яе плошча можа быць падлічана па формуле S(P) = .
на падставе крытэрыя квадравальнасці ў тэрмінах мнагавугольнікаў.
Заўвага 1. Аналагічна можна паказаць, што плошча крывалінейнай трапецыі Р, якая абмежавана прамымі y = c, y = d, воссю х = 0 і графікам неадмоўнай , непарыўнай функцыі x = (y), знаходзіцца па формуле
S(P) = .
Заўвага 2. Любы мнагавугольнік – квадравальная фігура.
Вынік 1. Няхай фігура Р абмежавана прамымі х = а, х = b, y = 0, графікам функцыі y = f(x) (f(x) x [a,b]), то фігура Р – квадравальная і яе плошча S(P) = .
Заўвага 3. У гэтым выпадку фігура Р не з’яўляецца крывалінейная трапецыяй.
Вынік 2. Няхай фігура Р абмежавана прамымі х = а, х = b і графікамі функцый y = f1(x) і y = f2(x) (f2(x) > f1(x) x [a,b]), S(P) = .
Няхай функцыя f(x) задана параметрычна сістэмай .(1)
Функцыя (t) непарыўная разам са сваёй вытворнай і непарыўная на адрэзку [a,b], функцыя (t)0 t[,]. Г.зн. на адрэзку [a,b] задана непарыўная неадмоўная функцыя y = ( -1(x)), дзе a = (), b = (). Тады плошча крывалінейнай трапецыі, абмежаванай прамымі х = а, х = b і графікам функцыі, якая задана формуламі (1), знойдзецца па формуле
S(P) = . (2)
Заўвага 4. Фомулу (2) можна скарыстаць для вылічэння плошчы фігуры, абмежаванай замкнутай крывой, пры умове: уся крывая абыходзіцца адзіны раз па кірунку гадзінікавай стрэлкі, калі t[,].
Прыклад.
п2. Плошча фігуры ў палярнай сістэме каардынат
Тэарэма 1. Кругавы сектар – квадравальная фігура і яго плошча
S(P) = ½ R2 Sкруга = R2. (без док.)
Зададзім палярную сістэму каардынат. Няхай на адрэзку [,] задана непарыўная функцыя r = f(). Графік – плоская крывая.
Азначэнне 1. Фігура P, абмежаваная прамянямі = , = і графікам функцыі r = f(), называецца крывалінейным сектарам.
Тэарэма 2. Крывалінейны сектар – квадравальная фігура і яго плошча
S(P) = ½ . (3)
Заўвага 5. Калі фігура P, абмежаваная прамянямі = , = і графікам функцый r = f1(), r = f2(), f2() > f1(), то 1) фігура Р не з'яўляецца крывалінейным сектарам, 2) S(P) = ½ .
Прыклад.
§11. Кубавальныя целы п1. Паняцце мнагагранніка і яго уласцівасці
Азначэнне 1. Мнагаграннікам называецца цела GR3, якое можна прадставіць у выглядзе аб’яднання концавага ліку трохвугольных пірамід, якія не маю агульных нутраных пунктаў.
Аб’ем мнагагранніка абазначым V(G).
У курсе геаметрыі было даказана, што існуе адзінае адлюстраванне V мноства мнагаграннікаў у мноства сапраўдных лікаў, якое мае наступныя ўласцівасці:
1. Неадмоўнасць: для кожнага мнагагранніка V(G) 0.
2. Інварыянтнасць: калі А = В, то V(А) = V(В).
3. Адытыўнасць: калі А і В не маюць агульных нутраных пунктаў, то V(АВ) = V(А) + V(В).
4. Нармаванасць: існуе мнагаграннік адзінкавага аб’ёму (,V(А)= 1), які называецца адзінкавым кубам.
5. Манатоннасць: калі А В , то V(А) V(В).