- •Глава 2. Вызначаны інтэграл
- •§1. Раўнамерная непарыўнасць функцыі
- •Геаметрычгы сэнс раўнамернай непарыўнасці функцыі
- •§2. Паняцце вызначаннага інтэграла п1. Задачы, якія прыводзяць да вызначанага інтэграла
- •П2. Паняцце вызначанага інтэграла
- •§3. Сумы Дарбу і іх уласцівасці п1. Паняцце сум Дарбу
- •§4. Неабходныя і дастатковыя ўмовы інтэгравальнасці функцый. Класы інтэгравальных функцый
- •Класы інтэгравальных функцый
- •§5. Уласцівасці вызначанага інтэграла
- •§6. Вызначаны інтэграл са зменнай верхняй мяжой. Існаванне першаіснай непарыўнай функцыі. Формула Ньютана - Лейбніца
- •§7. Метады інтэгравання вызначаных інтэгралаў
- •§9. Квадравальныя фігуры п1. Плошча мнагавугольніка і яе ўласцівасці
- •П2. Паняцце квадравальнай фігуры
- •П3. Крытэрыі квадравальнасці фігуры
- •§10. Вылічэнне плошчаў фігур п1. Плошча фігуры ў дэкартавай сістэме каардынат
- •§11. Кубавальныя целы п1. Паняцце мнагагранніка і яго уласцівасці
- •П2. Паняцце кубавальнага цела
- •П3. Крытэрыі кубавальнасці цела
- •§12. Вылічэне аб’ёмаў некаторых целаў п1. Аб'ём прамога цыліндра
- •П2. Аб'ём с-цела
- •§13. Даўжыня дугі крывой п1. Даўжыня дугі ў дэкартавых каардынатах
- •П2. Даўжыня дугі ў палярных каардынатах
- •§14. Плошча паверхні абароту
- •§15. Неўласцівыя інтэгралы п1. Неўласцівыя інтэгралы на неабмежаваных прамежках (інтэгралы і роду)
- •П3. Неўласцівыя інтэгралы ад неабмежаваных функцый (інтэгралы другога роду)
- •П4. Прыкметы збежнасці неўласцівых інтэгралаў іі роду
- •Прыклад.
П2. Паняцце кубавальнага цела
Няхай G – цела ў прасторы R3: GR3. Праз мноствы {P} i {Q} абазначым адпаведна мноствы мнагаграннікаў, якія змяшчаюцца ў G і якія змяшчаюць G: {P} G, {Q} G, а праз V(P) і V(Q) – адпаведна аб’ёмы такіх мнагаграннікаў.
Паколькі кожны мнагаграннік P змяшчаецца ў Q, то P Q і па ўласцівасці манатоннасці V(P) V(Q) (1). Гэта значыць, што мноства {V(P)} абмежавана зверху аб’ёмам любога мнагагранніка Q, а мноства {V(Q)} абмежавана знізу аб’ёмам любога мнагагранніка Р.
Абазначым sup{V(P)} = V*(G) (2) , inf {V(Q)} = V*(G) (3). Па уласцівасці sup і inf:
V(P) V*(G), V(Q) V*(G) V*(G) V*(g).
Заўвага 1. Калі цела G не змяшчае ні воднага мнагагранніка, то будзем лічыць, што V*(G) = 0, калі няма мнагаграннікаў, якія змяшчаюць G, то
V*(G) = 0.
Азначэнне 2. V*(G) называецца нутранным аб’ёмам (нутраной мерай) цела G, а V*(G) – вонкавым аб’ёмам (вонкавай мерай) цела G.
Азначэнне 3. Калі выконваецца роўнасць V*(G) = V*(G) = V(G) (4), то цела G называецца кубавальным, а лік V(G) – аб’ёмам цела G.
Азначэнне 4. Адлюстраванне (функцыя) V мноства кубавальных целаў у мноства сапраўдных лікаў: V : {G} R, якое мае уласцівасці (1-5) называецца аб’ёмам на класе кубавальных целаў.
Прыклад.
П3. Крытэрыі кубавальнасці цела
Тэарэма 1 (у тэрмінах мнагаграннікаў). Для таго, каб цела G былo кубавальным і мела аб'ём V(G), неабходна і дастаткова, каб існавалі дзве паслядоўнасці мнагаграннікаў (Pn) i (Qn), якія адпаведна змяшчаюццца і змяшчаюць цела G такія, што . (без доказа)
Тэарэма 2 (у тэрмінах кубавальных целаў). Для таго, каб цела G было кубавальным, неабходна і дастаткова каб існавалі дзве паслядоўнасці кубавальных целаў (Pn) i (Qn), якія адпаведна змяшчаюццца і змяшчаюць цела G такія, што . (без доказа)
§12. Вылічэне аб’ёмаў некаторых целаў п1. Аб'ём прамога цыліндра
Азначэнне 1. Прамым цыліндрам называецца цела, абмежаванае цыліндрычнай паверхняй, дзвюмя паралельнымі плоскасцямі; утваральная (образующая) паверхні перпендыкулярна гэтым плоскасцям, а самі плоскаці пры перасячэнні з паверхняй утвараюць некаторыя крывыя, якія называюцца кіроўнымі (направляющими). Фігуры, абмежаваныя гэтымі крывымі – асновы цыліндра.
Заўвага. Кіроўнымі могут быць розныя крывыя другога парадку.
Тэарэма 1. Прамы цыліндр – кубавальнае цела, а яго абўём вылічваецца па формуле: V(G) = S(P)H (1), дзе Р – квадравальная фігура, S(P) – плошча фігуры Р, Н – вышыня цыліндра. (без доказу)
П2. Аб'ём с-цела
Разгледзім цела G, якое заключана паміж плоскасцямі x = a, x = b, перпендыкулярнымі восі Ох, такое, што :
1) у сечывах гэтага цела плоскасцямі, якія праходзяць праз любыя пункты x [a,b] восі Ох, атрымліваюцца квадравальныя фігуры, плошчы якіх S(x);
2) S(x) непарыўная на [a,b] функцыя;
3) дзве праекцыі любых двух сечываю цела G умяшчаюцца адна ў адной.
Азначэнне 2. Цела, якое мае пералічаныя ўласцівасці будзем называць С – целам.
Прыклады.
Тэарэма 2. С – цела – кубавальнае цела і яго аб’ем можна вылічыць па формуле: . (2)
Заўвага 1. Формула (2) даёт магчымасць знайсці аб’ём цела праз плошчу папярэчнага сечыва.
Задача 1. Знайсці аб’ём піраміды з вышыней Н і асновай Р.
Задача 2. Знайсці формулу для вылічэння аб’ему цела абароту.
Задача 3. Знайсці аб’ём конуса.