- •Глава 2. Вызначаны інтэграл
- •§1. Раўнамерная непарыўнасць функцыі
- •Геаметрычгы сэнс раўнамернай непарыўнасці функцыі
- •§2. Паняцце вызначаннага інтэграла п1. Задачы, якія прыводзяць да вызначанага інтэграла
- •П2. Паняцце вызначанага інтэграла
- •§3. Сумы Дарбу і іх уласцівасці п1. Паняцце сум Дарбу
- •§4. Неабходныя і дастатковыя ўмовы інтэгравальнасці функцый. Класы інтэгравальных функцый
- •Класы інтэгравальных функцый
- •§5. Уласцівасці вызначанага інтэграла
- •§6. Вызначаны інтэграл са зменнай верхняй мяжой. Існаванне першаіснай непарыўнай функцыі. Формула Ньютана - Лейбніца
- •§7. Метады інтэгравання вызначаных інтэгралаў
- •§9. Квадравальныя фігуры п1. Плошча мнагавугольніка і яе ўласцівасці
- •П2. Паняцце квадравальнай фігуры
- •П3. Крытэрыі квадравальнасці фігуры
- •§10. Вылічэнне плошчаў фігур п1. Плошча фігуры ў дэкартавай сістэме каардынат
- •§11. Кубавальныя целы п1. Паняцце мнагагранніка і яго уласцівасці
- •П2. Паняцце кубавальнага цела
- •П3. Крытэрыі кубавальнасці цела
- •§12. Вылічэне аб’ёмаў некаторых целаў п1. Аб'ём прамога цыліндра
- •П2. Аб'ём с-цела
- •§13. Даўжыня дугі крывой п1. Даўжыня дугі ў дэкартавых каардынатах
- •П2. Даўжыня дугі ў палярных каардынатах
- •§14. Плошча паверхні абароту
- •§15. Неўласцівыя інтэгралы п1. Неўласцівыя інтэгралы на неабмежаваных прамежках (інтэгралы і роду)
- •П3. Неўласцівыя інтэгралы ад неабмежаваных функцый (інтэгралы другога роду)
- •П4. Прыкметы збежнасці неўласцівых інтэгралаў іі роду
- •Прыклад.
Класы інтэгравальных функцый
У §2 была даказана тэарэма аб абмежаванасці інтэгравальных функцый і была заўважана, што інтэгралы ад неабмежаваных функцый не існуюць.
Апішам тыя функцыі, які будуць інтэгравальны на адрэзку [a,b] па Рыману.
Тэарэма 3. Непарыўная на адрэзку [a,b] функцыя інтэгравальная на гэтым адрэзку.
Для доказа будзем карыстацца неабходнай і дастатковай умовай інтэгравальнасці, тэарэма Вайерштраса І і ІІ, паняцце раўнамернай непарыўнасці функцыі і тэарэмай Кантара.
Заўвага 1. Мноства ўсіх непарыўных на адрэзку [a,b] функцый абазначаецца C[a,b].
Паколькі кожная з непарыўных функцы інтэгравальная на адрэзку [a,b], то кажуць, што непарыўныя функцыі адносяцца да класу інтэгравальных функцый.
Заўвага 2. Можна даказаць, што функцыя, якая язначана на адрэзку [a,b] і якая мае на ім концавы пункт разрыву І роду (кускова-непарыўная функцыя) інтэгравальная на адрэзку [a,b].
Выснова. Кускова-непарыўная на адрэзку [a,b] функцыя інтэгравальная на гэтым адрэзку і таму адносяцца да класу тньэгравальных функцый..
Тэарэма 4. Манатонна на адрэзку [a,b] функцыя інтэгравальная на гэтым адрэзку.
для нарастальнай функцыі.
Заўвага 4. Манатонныя на адрэзку [a,b] функцыі адносяцца да класу інтэгравальных функцый.
§5. Уласцівасці вызначанага інтэграла
У азначэнні вызначанага інтэграла лічылася, a < b. Будзем лічыць, што:
а) = - ; б) = 0.
1(адытыўнасць). , калі функцыі f i g інтэгравальныя на адрэзку [a,b].
2 (аднароднасць). = .
3 (лінейнасць). = + +…+ .
4 (адытыўнасць на адрэзку). Калі f интэгравальная на адрэзку [a,b] функцыя, с [a,b], то = + .
5 . Калі f iнтэгравальная на адрэзку [a,b] функцыя і x [a,b] f(x) 0, то 0.
6. Калі f і g iнтэгравальныя на адрэзку [a,b] функцыі і x [a,b]
f(x) g(x) (f(x) < g(x) ), то ( < ).
7. Калі f интэгравальная на адрэзку [a,b], то .
8 (Тэарэма аб сярэднім). Калі функцыя f непарыўная на на адрэзку [a,b], то існуе пункт с [a,b] такі, што = f(c)(b - a).
9 (абагульнённая тэарэма аб сярэднім). Калі f і g непарыўныя на адрэзку [a,b] функцыі і g не мяняе свой знак на гэтым адрэзку, то існуе пункт с [a,b] такі, што = f(c) .
Доказ уласцівасцей зрабіць самастойна.
§6. Вызначаны інтэграл са зменнай верхняй мяжой. Існаванне першаіснай непарыўнай функцыі. Формула Ньютана - Лейбніца
Няхай функцыя f непарыўная на адрэзку [a,b], г.зн. інтэгравальная на гэтым адрэзку і на кожным адрэзку [a,х] [a,b]: а х b. Такім чынам існуе або , дзе адрэзку [a,х (акрамя х = а) – зменная велічыня.
Абазначым (х) = (1) і назавём гэты інтэграл інтэгралам са зменнай верхняй мяжой, а функцыю (х) – функцыяй верхняй мяжы, азначанай на адрэзку [a,b].
Тэарэма 1. Калі функцыя f непарыўная на адрэзку [a,b], то функцыя (1) дыферэнцавальная ў кожным пункце адрэзка [a,b], і пры гэтым
(х) = ( ) = f(x). (2)
Вынік 1. Усякая непарыўная на адрэзку [a,b] функцыя мае на ім першаісную. Адной з першаісных з’яўляецца функцыя (х) = .
Заўвага 1. Можна разглядзець і функцыю ніжняй мяжы:
(х) = = (х) = f(x).
Прыклад.
Заўвага 2. Геаметрычны сэнс інтэгралам са зменнай верхняй мяжой – плошча крывалінейнай трапецыі з асновай адрэзкам [a,х].
Асноўная формула інтэгральнага злічэння –
формула Ньютана – Лейбніца
Калі функцыя f непарыўная на адрэзку [a,b], то мае месца формула
= F(x)ab = F(b) – F(a) - формула Ньютана – Лейбніца.
Вывад формулы.