5. Операции симметрии. Элементы симметрии кристаллов
Идеальная внешняя форма кристаллов наиболее полно представляет особенности их внутреннего строения. Но поскольку кристаллы идеальной формы в природе встречаются крайне редко, законы сим метрии удобнее изучать на их идеализированных моделях.
Геометрические образы (плоскости, прям линии, точки), с помощью которых задаются или осуществляются симметрические операции, называются элементами с Нетрудно увидеть, что элементы симметрии суть геометрические места инвариантных точек, т. е. точек, которые остаются неподвижными при заданной симметрической операции.
В зависимости от характера операций различают элементы симметрии I и I родов. Элементы симметрии 1 рода «связывают» друг с другом конгруэнтно равные фигуры (или их части), т. е. фигуры, совмещающиеся при наложении (или «вложении»), в то время как элементы симметрии I рода связывают зеркально равные—энантиоморфные—фигуры (или их части). Условно назвав фигуру (или ее часть) по какому-нибудь признаку «правой», очевидно, следует «правыми» называть все фигуры, конгруэнтно равные первой, а «левыми» — энантиоморфно равные ей. Таким образом, операции элементов симметрии 1 рода связывают «правые» фигуры с «правыми», «левые» с «левыми», а операции элементов симметрии II рода — «правые» с «левыми».
Обратим внимание, что, иллюстрируя операцию симметриж всегда следует пользоваться асимметричным объектом, напри мер тетраэдром или плоской фигурой, имеющей лицевую и изна ночную стороны, так как симметричный объект (кружок, точка) не позволит различить операции 1 и I родов.
1. Элементы симметрии 1 рода
Поворотная ось симметрии--- это прямая, при повороте вокруг которой на какой-либо угол фигура совмещается сама с собой, т.е. совмещаются ее равные части, и она занимает в пространстве положение, эквивалентное исходному. Наименьший угол поворота вокруг оси, приводящий фигуру к амосовмещению, называют элементарным углом поворота оси симметрии сж, его величина определяет порядок оси п, т. е. число самосовмещений фигуры при полном повороте на 360. Заметим, что фигура обладающая осью симметрии при порядка, может быть рассечена на п конгруэнтных частей бесконечным числом способов (рис. 10).
В геометрических фигурах возможны оси симметрии любых порядков, в кристаллических же многогранниках порядки осей ограничены числами п=1, 2, 3, 4 и б, т. е. в кристаллах ,iевоз можн оси симметрии 5-го и выше б-го порядков. В этом суть основного закона симметрии кристаллов, установленного эмпирически, но впоследствии подтвержденного решетчатым строением кристаллов.
2. Элементы симметрии II рода
Зеркальная плоскость симметрии—плоскость, отражаясь от которой как в «двустороннем зеркале» правая фигура (часть фигуры) совмещается с левой; таким образом, фигуры, связанные плоскостью симметрии, относятся друг к другу как предмет и его зеркальное отражение. Зеркальная плоскость симметрии (и операция отражения плоскости) обозначается в символике Браве буквой Р; графически плоскость симметрии изображается обычно двойной линией.
Центр инверсии (центр симметрии) можно представить как «зеркальную точку», «отражаясь» в которой правая фигура (часть фигуры) становится не только левой, но и перевернутой) т. е. центр инверсии играет здесь роль фокуса оптической линзы, а фигуры, связанные инверсией, относятся друг к другу как предмет и его изображение на фотопленке. Иными словами, любой точке фигуры, обладающей центром инверсии, соответствует эквивалентная точка на продолжении прямой, соединяющей первую точку с центром, причем расстояния от центра до обеих точек равны между собой; поэтому каждой вершине центросимметричного многогранника соответствует равноудаленная от центра эквивалентная вершина, каждому ребру—равноудаленное, равное,
|
параллельное, но противоположно направленное ребро, а каждой грани—равноудаленная, равная, антипараллельная грань . На рис. 12 хорошо видно, что центр ин- версии—это зеркальная точка, в которую обратилась зеркальная плоскость Центр инверсии в символике Браве обозначают буквой С, а графически отмечают точкой или также буквой С. Для обо значения операции инверсии служит буква i.
|
Сложные оси симметрии позволяют совмещать равные фигуры (части фигуры) путем двойной операции — поворота (операция 1 рода) и отражения (операция I рода). Если поворот во круг некоторой оси сопровождается отражением в перпендикуляр ной к ней плоскости, то такую сложную ось называют зеркально поворотной (или зеркальной). Если за поворотом следует отражение в точке, т. е. инверсия, то такую ось называют инверсионной. В общем случае каждое из совместных действий — поворот и отражение—мнимые. Последовательность, в которой производятся эти операции, безразлична, иными словами, операции коммутируют.
Размножая асимметричную фигурку, нетрудно убедиться, что преобразования сложных осей З-го и 6-го порядков могут быть заменены сочетаниями действительных операций.
Оригинальной (незаменимой) оказывается в кристаллах лишь сложная ось 4-го порядка, поэтому специальное графическое обозначение ( ) необходимо в кристаллах лишь для этой оси.
Из вышеизложенного ясно, что симметрия любого многогранника, т. е. закономерная повторяемость одинаковых его частей, может быть описана только осями симметрии (поворотными) и сложными (зеркальными или инверсионными), однако на практике сложные оси 1-го и 2-го порядков удобно заменять их эквивалентами — плоскостью симметрии и центром инверсии. Записывая в виде формулы комплекс элементов симметрии кристалла, одноименные элементы симметрии (оси одинаковых порядков или плоскости симметрии) объединяют коэффициента ми (например: 4Р, 6L2 и т. п.). Однако целесообразно различать неэквивалентные и эквивалентные одноименные элементы симметрии, понимая под последними элементы, связанные какими- либо операциями симметрии данного комплекса, и группируя их посредством соответствующих коэффициентов. Любое симметрии преобразование—поворот с отражением или без него — удобно показать с помощью координат х, у, z точек - исходной и преобразованной (они могут представлять атомы кристаллической структуры).