3.1. Теплопроводность однородной пластины

Симметричные условия охлаждения (граничные условия третьего рода)

Дано: тонкая пластина, толщиной 2 площадью поверхности F, м² с коэффициентом теплопроводности =const, с объемным тепловыделением q_v находится в среде с температурой t_ж=const (рис. 3.1). Задан коэффициент теплоотдачи Условие "тонкой" пластины предполагает пренебрежимо малый отток тепла в среду с торцов, теплота передается в среду только с боковых поверхностей пластины.

О пределить: уравнение температурного поля t=f(x), тепловой поток Q, отводимый с боковой поверхности пластины.

Температурное поле пластины описывается дифференциальным уравнением теплопроводности (1.13). Для стационарного режима при отсутствии теплоотдачи с торцов оно запишется в виде

(3.1)

Дифференциальное уравнение второго порядка требует два дополнительных условия однозначности для определения констант интегрирования. Такими условиями являются граничное условие третьего рода (заданы t_ж, ), которое на основании (1.15) для данной задачи запишется в виде

(3.2)

и условие максимума температуры в центре пластины

(3.3)

Система уравнений (3.1) – (3.3) является математической постановкой задачи.

Граничные условия на поверхностях пластины одинаковы, тепловые потоки, отводимые с поверхностей, одинаковы поэтому можно рассматривать лишь одну половину пластины, например правую, для которой записано граничное условие (3.2).

После интегрирования (3.1) получим

(3.4)

(3.5)

Уравнение (3.5) - общий интеграл уравнения (3.1). Постоянные интегрирования с₁ и с₂ определяются с помощью граничных условий (3.2) и (3.3). Из уравнения (3.4) с учетом (3.3) получим

Из уравнения (3.4) при х= имеем

а из (3.5) при х=

Значения и t_с подставим в (3.2) и найдем постоянную интегрирования

После подстановки значений с₁ и с₂ в (3.5) получим уравнение температурного поля t=f(x) при граничных условиях третьего рода

(3.6)

где х – текущая координата.

Уравнение (3.6) – симметричная парабола (рис. 3.1). Максимальная температура (t_тах) – в центре пластины (х=0), минимальная (t_с) – на поверхности пластины (х=). При этих условиях из (3.6) можно получить расчетные формулы для максимальной температуры и температуры поверхности пластины:

	(3.7)
	(3.8)

Если в уравнение (3.6) подставить значение t_с согласно (3.8), то получим уравнение температурного поля пластины t=f(x) при граничных условиях первого рода

(3.9)

Тепловой поток, рассеиваемый поверхностью F, рассчитывается по формулам:

	(3.10)
	(3.11)

где V, м³ - объем пластины.

Суммарный тепловой поток, рассеиваемый двумя боковыми поверхностями, вдвое больше, т.к. площадь поверхности охлаждения F_охл=2F, тепловыделяющий объем - V, м³.

Несимметричные условия охлаждения (граничные условия третьего рода)

Д ано: тонкая пластина толщиной . Известны: q_v , =const, (рис. 3.2).

Определить: уравнение температурного поля t=f(x), потоки теплоты (Q₁, Q₂), координату максимальной температуры (х₀).

Математическая формулировка задачи включает в себя дифференциальное уравнение температурного поля пластины (3.1), граничные условия третьего рода для поверхностей пластины (3.12), (3.13) и условие максимума температуры при х=х₀ (3.14):

	(3.12)
	(3.13)
	(3.14)

Три уравнения (3.12) – (3.14) необходимы для определения постоянных интегрирования с₁ и с₂ и координаты максимальной температуры х₀.

Решение системы дифференциальных уравнений (3.1), (3.12) – (3.14) дает уравнение температурного поля пластины t=f(x) при несимметричных условиях охлаждения

(3.15)

где

и формулу для расчета координаты максимальной температуры

(3.16)

Уравнение (3.15) – несимметричная парабола (рис. 3.2). Формулы для вычисления температур на поверхностях пластины и максимальной температуры (t_тах) можно получить, если в (3.15) подставить значения х=0, х=, х=х₀ соответственно.

Потоки тепла, рассеиваемые поверхностями пластины, рассчитываются по формулам

(3.17)

,

(3.18)

где F, м² – площадь поверхности пластины; V₁ , V₂, м³ – тепловыделяющие объемы.

Несимметричные условия охлаждения (граничные условия первого рода)

Дано: тонкая пластина толщиной . Известны: q_v, =const, (рис. 3.2).

Определить: уравнение температурного поля t=f(x), координату максимальной температуры (х₀).

Математическая формулировка задачи включает в себя дифференциальное уравнение температурного поля пластины (3.1), граничные условия первого рода для поверхностей пластины:

при х=0	(3.19)
при х=δ	(3.20)

и условие максимума температуры (3.14).

Решение системы уравнений (3.1), (3.19), (3.20), (3.14) дает уравнение температурного поля t=f(x) в виде

(3.21)

и формулу для расчета координаты максимальной температуры

(3.22)

Потоки тепла, рассеиваемые поверхностями пластины, рассчитываются по уравнениям (3.17), (3.18).