3. Элементы комбинаторики. Основное правило комбинаторики.

Лемма 1. Из m элементов а₁,…,а_m первой группы и n элементов b₁,…,b_n второй группы можно составить ровно m∙n упорядоченных пар вида (а_i, b_j), содержащих по одному элементу из каждой группы.

Доказательство:

Лемма 2. Из n₁ элементов первой группы a₁, а₂,…, а_n1,

n₂ элементов второй группы b₁, b₂,…, b_n2,

n₃ элементов k-ой группы x₁, x₂,…, x_nk

можно составить ровно n₁∙ n₂∙…∙n_k различных упорядоченных комбинаций вида , содержащих по одному элементу из каждой группы.

Замечание: Лемма2 обобщает Лемму1 на случай конечного числа к-групп (к>2).Лемма1 и Лемма 2 является основными правилами комбинаторики.

4.Число выборок, свойство сочетания геометрической вероятности.

Пусть имеется множество из n элементов a₁, a₂ ,a_n. Будем рассматривать выборку объема k из n элементов. Все выборки можно классифицировать по 2 признакам :упорядоченные и неупорядоченные.

с возвращением и без возращения

Если выборки считаются упорядоченными. То играют роль порядок элементов выборки, если же выборки не упорядоченные, то все выборки с одним и тем же элементом отождествляется. Выборки с возвращением: один и тот же элемент может повторятся несколько раз. Выборки без возвращения каждый элемент может находится один раз.

		С возвращением
		Без возвращения
упорядоченная	Неупорядоченная	Выборка

Упорядоченная выборка без возвращения называется размещением. Число размещений .

Перестановкой из k элементов называется совокупность этих же элементов, записанных в произвольном порядке. P_k-число перестановок из k элементов.

Произвольное k-элементное подмножество множества n элементов называется сочетанием из n элементов по k элементов. , где .

Свойства сочетаний:

1. .

2. .

3. .

4. .

Геометрические вероятности.

Предположим, что на числовой оси имеется некоторый отрезок [a,b] и на этот отрезок наудачу бросается точка. Найти вероятность того, что эта точка попадет на . —геометрическая вероятность на прямой.

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством:

—геометрическая вероятность на плоскости.

Пусть в пространстве имеется фигура v, составляющая часть фигуры V. На фигуру V наудачу брошена точка. Вероятность попадания точки в фигуру v определяется равенством:

—геометрическая вероятность в пространстве.

Замечание: Недостатком классического определения вероятности является то, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов.

5.Свойства вероятности.

1. Вероятность невозможного события равна 0, т.е. .

2. Вероятность достоверного события равна 1, т.е. ,

3. Для любого события .По классическому определению , т.к. , то разделив на N(амега) получим и следовательно .

4. Если события А и В несовместимы, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: