17. Лемма о нормальном распределении. Критерии независимости дискретной и непрерывной случайной величин
Теорема 1.(лемма
о нормальном распр) Если случайная
величина Х
имеет нормальное стандартное распределение
с параметрами (a,
G2),
то случайная величина
имеет нормальное распределение, т.е.
.
;
.
Теорема 2. (Критерий независимости дискретных случайных величин).
Для того чтобы
дискретные случайные величины Х1,…,Хn
были независимы, необходимо и достаточно,
чтобы для любых действительных чисел
х1,…,хn
выполнялось соотношение
.
Теорема 3. (Критерий независимости для непрерывных случайных величин).
Для того чтобы непрерывные случайные величины Х1, Х2,…,Хn были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы для любых действительных чисел х1,…,хn выполнялось соотношение
.
Здесь
—совместимая
плотность распределения случайных
величин Х1,…,Хn,
то есть совместимая функция распределения
случайных величин Х1,…,Хn
.
Предположим, что
случайная величина
.
Вероятность, что
.
Пусть
.
.
,
где
—функция
Лапласа.
Замечание. Необходимо отметить, что φ(t)—четная функция, т.е.
φ(-х)=φ(х); функция Лапласа —нечетная, т.е. ; функция стандартного нормального распределения N(x) обладает свойством N(x)+N(-x)=1.
18. Случайный вектор. Св-ва функции распределения случайного вектора
Вектор
,
где
—случайные
величины, называются n-мерным
случайным вектором.
Функция
называется функцией
распределения случайного вектора
или совместной
функцией распределения
случайных величин
.
Свойства функции распределения случайного вектора.
1.
.
2.Функция распределения случайного вектора неубывающая по каждому аргументу.
Пусть
x1<y1,
тогда событие
.
Тогда
.
По свойству вероятности если
,
то
,
получим
.
Т.е. функция не убывает по первому
аргументу. Аналогично для любого
аргумента.
3.
.
=0
4.
.
=
.
Случайный вектор называется дискретным, если все его компоненты—дискретные случайные величины.
Случайный вектор
называется непрерывным,
если существует неотрицательная функция
,
называется плотностью распределения
случайных величин
такая, что функция распределения
.
19. Случайный вектор. Свойства плотности распределения случайного вектора
Вектор , где —случайные величины, называются n-мерным случайным вектором. Случайный вектор называется непрерывным, если существует неотрицательная функция , называется плотностью распределения случайных величин такая, что функция распределения .
Свойства плотности распределения случайного вектора.
1.
2.
.
.
3.
,
где
—множество
из пространства IRn.
20. Функция двух случайных аргументов. Формула свёртки
Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y:
.
Рассмотрим общий случай:
Пусть Х и Y—независимые
случайные величины, принимающие значения
.
Обозначим через
,
,
.
Z=X+Н.
Обозначим через
.
Таким образом,
—формула
свертки.
Плотность распределения суммы независимых случайных величин называется композицией.
Замечание.
Если возможные значения X
и Y
неотрицательны, то формула
свертки
.