7 Теорема Ферма.

Если функция у = f (х), определенная в интервале (а ; b), достигает в некоторой точке с этого интервала наибольшего (или наименьшего) значения и существует производная f ′(с), то f ′(с) = 0.

Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что касательная к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой с параллельна оси абсцисс (рис.).

Теорема Ролля. Если функция у = f (х), непрерывная на отрезке [а ; b] и дифференцируемая в интервале (а ; b), принимает на концах этого отрезка равные значения f (a) = f (b), то в интервале (а ; b) существует такая точка с, что f ′(с) = 0.

Геометрически эта теорема означает следующее: если крайние ординаты кривой у = f (х) равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс (рис.).

Теорема Лагранжа. Если функция у = f (х) непрерывна на отрезке [а ; b] и дифференцируема в интервале (а ; b), то в этом интервале найдется такая точка с, что

Эта теорема имеет простой геометрический смысл (рис.): на графике функции у = f (х) между точками А и В найдется такая внутренняя точка С, что касательная к графику в точке С параллельна хорде АВ

Следствие. Если f ′(x) = 0 в интервале (а ; b), то в этом интервале функция f (х) постоянна.

8

Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность

типа или .

Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.

Если и , то ; по теор.лагранжа

Если и , то аналогично .

9 Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции. Связь с первой и второй производной

большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Необх.усл.возр,уб ф-ии:Если ф-я возр(уб)на промеж. Х то её произв не отриц(не полож) на эт промеж

Т.х0 наз т мах ф-ии если сущ такая окрестн в т х0 что для люб х их эт окрестн f(x) < f(x0). И тоже самое для мин

В 1 рис есть касат в этих т и произ =0 ,во 2 нет произв

В т экстремума произв= либо 0 либо не сущ

Если ф-я деффер-ма то в окрестн т экстремума выполн теорема Ферма.Значит по т Ферма произв в т экстремума=0

В точках где произ=0 или не сущ- крит т

Достаточн условие сущ т экстремума:если при перех через т х0 произв ф-ии меняет знак то х0-т экстремума (если знак с + на – то мах и наоб)

Если в т х0 1я произв дважды дифференцируемой ф-ии =0 а вторая произ меньше 0 то это т макс и наоб

17 Свойства определённого интеграла.

1)постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

2)интеграл от алгебраической суммы 2х функций равен такой же сумме интегралов от этих функций

3)Если отрезок интегрирования разбит на части,то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей,т е при любых а,в,с

4)Если на отрезке а,в где а<в,f(x)<=g(x),т е обе части неравенства можно почленно интегрировать

5)если функция у=f(x) непрерывна но отрезке а,в где а<в то найдётся такое значение ξ Э(в друг сторону(принадлежит)) отрезку а,в что(напиши формулой) интеграл ф от х д х=ф(ξ)(в-а)

10 Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба.

У=ф от х назыв выпукл на промеж х если её гафик на этом промежутке лежит ниже касат-й проведенной к нему в любой точке промеж.

Вогнута если график ф-ии на эт пром леж выше касат проведен к точке эт промеж

дост.усл выпукл,вогн ф-ии:Если 2я произв дважды диффер-й фии положит на промеж х то ф-я вогнутая

Если 2я произв отриц на пром х то ф-я выпукла на эт пром

Доказательство. Предположим для определенности, что f''(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M0 с абсциссой x0 Î (a; b) и проведем через точку M0 касательную. Ее уравнение . Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной.

Итак, уравнение кривой имеет вид y = f(x). Обозначим ординату касательной, соответствующую абсциссе x. Тогда . Следовательно, разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении x будет . Разность f(x) – f(x0) преобразуем по теореме Лагранжа , где c между x и x0.

Таким образом,

К выражению, стоящему в квадратных скобках снова применим теорему Лагранжа: , где c1 между c0 и x0. По условию теоремы f ''(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Предположим, что x>x0. Тогда x0<c1<c<x, следовательно, (x – x0) > 0 и (c – x0) > 0. Поэтому .

Пусть x<x0, следовательно, x < c < c1 < x0 и (x – x0) < 0, (c – x0) < 0. Поэтому вновь .

Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях x и x0 Î (a; b), а это значит, что кривая выпукла. Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Точка в котор выпуклость фии смен вогнут или наоб наз т перегиба

Усл сущ т перег :если 2я произв дважды диф фии в т х0=0 и проходя через эту т меняет знак то х0 т перег