- •4. Замечательные пределы.
- •2 Замечательный предел.
- •5. Непрерывные функции и их свойства. Точка разрыва функций и их классификация.
- •6. Производная от функции. Дифференцируемость функции. Дифференциал.
- •7 Теорема Ферма.
- •9 Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции. Связь с первой и второй производной
- •17 Свойства определённого интеграла.
- •11 Асимптоты графика функции.
- •12 Первообразная и её свойства. Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица интегралов.
- •13 Способ подстановки в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям в неопределённом интеграле
- •14 Интегрирование выражений, содержащих квадратный трёхчлен.
- •15 Интегрирование рациональных дробей.
- •16 Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Определённый интеграл
- •18 Теорема Барроу. Формула Ньютона-Лейбница.
- •19 Вычисление определённого интеграла подстановкой и по частям.
- •20 Несобственные интегралы.
- •31 Степенные ряды.
31 Степенные ряды.
Определение. Степенным рядом называется ряд вида
.
Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
Применяем признак Даламбера:
.
Получаем, что этот ряд сходится при и расходится при .
Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.
При х = 1: ряд сходится по признаку Лейбница При х = -1: ряд расходится (гармонический ряд).
Интегрирование степенных рядов.
Если некоторая функция f(x) определяется степенным рядом: , то интеграл от этой функции можно записать в виде ряда:
1, Предел последовательности и его свойства
Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она имеет предел.
Последовательность монотонно возрастает, если последующий член>предыдущего (xn+1>xn)
Последовательность ограничена сверху, если существует такое М, что xn<=M.