- •4. Замечательные пределы.
- •2 Замечательный предел.
- •5. Непрерывные функции и их свойства. Точка разрыва функций и их классификация.
- •6. Производная от функции. Дифференцируемость функции. Дифференциал.
- •7 Теорема Ферма.
- •9 Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции. Связь с первой и второй производной
- •17 Свойства определённого интеграла.
- •11 Асимптоты графика функции.
- •12 Первообразная и её свойства. Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица интегралов.
- •13 Способ подстановки в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям в неопределённом интеграле
- •14 Интегрирование выражений, содержащих квадратный трёхчлен.
- •15 Интегрирование рациональных дробей.
- •16 Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Определённый интеграл
- •18 Теорема Барроу. Формула Ньютона-Лейбница.
- •19 Вычисление определённого интеграла подстановкой и по частям.
- •20 Несобственные интегралы.
- •31 Степенные ряды.
13 Способ подстановки в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям в неопределённом интеграле
Метод замены переменной (метод подстановки).
Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной (или метод подстановки), описываемый формулой:
Пусть заданный интеграл не может быть непосредственно преобразован к табличному интегралу. Введем новую переменную : . Тогда , , т.е. .
Найдем производные по переменной от левой и правой части; , . Т.к. , то эти производные равны, поэтому по следствию Лагранжа левая и правая части (1) отличаются на некоторую постоянную. Поскольку сами неопределенные интегралы определены с точностью до неопределенного постоянного слагаемого, то указанную постоянную в окончательной записи можно опустить.■
Формула показывает, что переходя к новой переменной, достаточно выполнить замену переменной в подынтегральном выражении. Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл, свести его к табличному.
14 Интегрирование выражений, содержащих квадратный трёхчлен.
1Интеграл вида
путем дополнения квадратного трехчлена до полного квадрата по формуле
сводится к одному из двух интегралов
где u = х + k.
2°. Интеграл
сводится к интегралам вида (8.1) или (8.2) и интегралу
3
4
5 сводится к разобранным выше интегралам.
6 с помощью обратной подстановки
приводятся к интегралам вида 5°.
15 Интегрирование рациональных дробей.
Рациональной функцией или рациональной дробью называется отношение двух многочленов:
. Если степень числителя ниже степени знаменателя, то дробь называется правильной, а если степень числителя выше или равна степени знаменателя, то дробь – неправильная.
Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби:
где – многочлен, а – правильная дробь.
Так как интегрирование многочленов не представляет затруднений, то возникает вопрос об интегрировании рациональных дробей, каждая из которых может быть представлена в виде алгебраической суммы правильных дробей I, II, III и IV типов:
I тип: ;
II тип: , где – натуральное число;
III тип: ,
IV тип: , ( – натуральное число; корни знаменателя комплексные, – числа).
Рассмотрим интегралы от простейших дробей:
I. .
II. , .
При интегрировании дробей III и IV типов используется та же методика, что и при интегрировании функций, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе. Для вычисления интгралов вида возможно применение рекуррентной формулы, указанной в таблице раздела 3.8.
Интегрирование произвольной правильной дроби основано на теореме из курса алгебры.
Теорема. Каждая правильная дробь , где и – алгебраические многочлены, может быть представлена единственным образом в виде суммы конечного числа простейших дробей.
Разложение правильной дроби на простейшие связано с разложением ее знаменателя на простые множители. Как известно, каждый целый многочлен с действительными коэффицентами разлагается, и притом единственным образом, на множители типа и ; при этом квадратичные множители предполагаются не имеющими действительных корней и, следовательно, неразложимыми на линейные множители. Объединяя одинаковые множители и полагая для простоты старший коэффициент многочлена равным единице, можно записать разложение этого многочлена схематически в виде
Тогда правильная дробь
может быть представлена в виде
Коэффициенты можно определить методом неопределенных коэффициентов. Написанное равенство есть тождество, поэтому, приведя дроби к общему знаменателю, получим в числителях тождественные многочлены справа и слева. Приравнивая коэфциенты при одинаковых степенях х , получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов .