16 Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Определённый интеграл

Пусть на отрезке [a,b]задана неотриц ф-я у=ф от х.Требуется найти площадь криволин трапеции,ограниченной прямой у=ф от х,прямыми х=а,х= b,и осью абсцисс у=0

Нарисуем ломаную

Фигура под ломан сост из трапеций.поскольку ломан наход близко к кривой то можно составить приблизит-е рав-во Sприблизит.равно Sл

Пусть f(x) определена на [a;b]. Разобьём [a;b]на части с несколькими произвольными точками a = x0 < x1 < x2 < xn = b Тогда говорят, что произведено разбиение R отрезка [a;b] Далее выберем произв. точку , i = 0, Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b]называется предел интегральных сумм ΘR при , если он существует независимо от разбиения R и выбора точек ξi, т.е . (1) Если существует (1), то функция f(x) называется интегрируемой на [a;b] – определение интеграла по Риману.

Пусть ф от х непрерывна на отвезке а,б . Тогда на этом отрезке существует неопред интеграл и имеет место формула

18 Теорема Барроу. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция у = ƒ(х) интегрируема на отрезке [а; b].

Теорема 37.1. Если функция у = ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b] и F(x) — какая-либо ее первообразная на [а; b] (F'(x) = ƒ(х)), то имеет место формула

Разобьем отрезок [а;b] точками а = x0, x1,..., b = xn (x0 < x1 < ...< хn) на n частичных отрезков [x0;x1], [x1;x2],..., [xn-1;xn], как это показано на рис. 169.

Рассмотрим тождество

Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа ƒ(b)-ƒ(а) = ƒ'(с)*(b-а).

Получим

т. е.

где ci есть некоторая точка интервала (xi-1; xi). Так как функция у = ƒ(х) непрерывна на [а; b], то она интегрируема на [а; b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от ƒ (х) на [а ;b].

Переходя в равенстве (37.2) к пределу при λ = max ∆xi→0, получаем

Равенство (37.1) называется формулой Ньютона-Лейбница. Если ввести обозначение F(b)- F(a) = F(x)|ab , то формулу Ньютона-Лейбница (37.1) можно переписать так:

Формула Ньютона-Лейбница дает удобный способ вычисления определенного интеграла. Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции ƒ (х) на отрезке [а; b], надо найти ее первообразную функцию F(x) и взять разность F(b)- F(a) значений этой первообразной на концах отрезка [a;b].

Теорема (Барроу):

Пусть и непрерывна в . ТогдаF дифференцируема в этой точке и её производная равна .

Доказательство:

Приращение

при в силу непрерывности в точке выполняется

Рассмотрим .По первому утверждению получаем

Устремляя , получаем

Важное следствие

Утверждение:Пустьf — непрерывна на . Тогда на этом отрезке у неё существует неопределённый интеграл.

В силу непрерывности функции на отрезке и теоремы Барроу — одна из первообразных.

Значит, неопределённый интеграл существует.

19 Вычисление определённого интеграла подстановкой и по частям.

Замена переменных в определенном интеграле.

Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a; b]. Множество [a; b] является областью значений некоторой функции x = g(z), которая определена на интервале и имеет на нем непрерывную производную, причем и , тогда .

Этой формулой удобно пользоваться в тех случаях, когда нам требуется вычислить интеграл , причем неопределенный интеграл мы бы искали методом подстановки.

Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Пусть на отрезке [a; b] определены и непрерывны функции u(x) и v(x) вместе со своими производными первого порядка и функция – интегрируема, тогда на этом отрезке интегрируема функция и справедливо равенство .

Этой формулой удобно пользоваться в тех случаях, когда нам требуется вычислить интеграл , причем неопределенный интеграл мы бы искали интегрированием по частям.