6) Проекция вектора на ось это число или скаляр.

Свойства:

Проеция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью.

Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций векторов на ту же ось.

Если вектор умножается на число, то его проекция на ось также умножается на это число.

Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбраннойсистеме координат, равной данному вектору.

7) Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла междуними.

Свойства скалярного произведения (a b c - векторы, y- число)

1. Переместительное: ab=ba

2. Сочетательное: (ya)b=y(ab)

3. Распределительное: a(b+c)=ab+ac

Координатное выражение скалярного произведения:

1) если , то

2) если , .

или с помощью определителя a x b =

|i j k |

|a(x) a(y) a(z)|

|b(x) b(y) b(z)|

Определение угла φ между ненулевыми векторами а = (a_x;a_y;a_z;) и b=( b_х; b_у; b_z);

cos(q) = a*b/|a|*|b| -> cos(q) = (a_x b_х+a_yb_у+a_zb_z)/sqrt(a_x^2+ a_y^2+ a_z^2)* sqrt(b_x^2+ b_y^2+ b_z^2)

. Длина вектора находится по формуле:

.

Направление вектора однозначно определяют направляющие косинусы вектора . Углы - углы между вектором и положительными направлениями осей соответственно.

.

8) Векторное произведение векторов

Векторным произведением векторов называется вектор , который удовлетворяет следующим требованиям:

1.

2. - правая тройка;

3. , где - угол между и .

Свойства векторного произведения таковы: и выполнены

- свойство антикоммутативности;

;

.

Координатным выражением векторного произведения называется:

Если , то координаты вектора вычисляются по формуле:

.

Отсюда, .

Система векторов называется компланарной, если все векторы этой системы параллельны одной плоскости, в противном случае система векторов называется некомпланарной.

Некомланарные тройки векторов имеют ориентацию: тройка векторов называется правой тройкой, если с конца вектора кратчайший поворот вектора к вектору происходит против часовой стрелки, если по часовой то левой.

9) Смешанное произведение векторов

. Таким образом, смешанное произведение векторов представляет векторное произведение векторов , умноженное затем скалярно на вектор . Результатом смешанного произведения векторов будет число.

Свойства смешанного произведения.

.

.

Перестановки векторов: называются циклическими.

Если векторы заданы координатами , то смешанное произведение находится по формуле

Эта формула дает координатное выражение смешанного произведения .

Условие компланарности : .

10) Линия на плоскости

Любую прямую на плоскости можно задать уравнением .

Это уравнение называется общим уравнением прямой на плоскости.

каноническое уравнение.

Параметрическая форма уравнения.

Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.