21. Умножение матриц. Свойства умножения матриц

Матрицу можно умножить слева на матрицу и, тем самым, найти произведение только тогда, когда число столбцов левой матрицы равно числу строк правой матрицы . Если под матрицами написать их размеры, то

, (1)

где

. (2)

Формула (1) показывает, какие размеры будет иметь матрица , а формула (2) определяет правило, по которому находятся элементы матрицы . Говорят также, что элемент матрицы есть результат «скалярного произведения» -й строки матрицы на -й столбец матрицы .

Найти , если .

1) .

,

,

,

.

Следовательно, .

Операции умножения матриц имеют следующие свойства:

- свойство коммутативности умножения матриц в общем случае

не выполняется (это видно уже из примера 6);

- свойство ассоциативности умножения матриц;

22. Обратная матрица и её основные свойства. Критерий обратной матрицы

Пусть - квадратная матрица. Матрица называется обратной матрицей для матрицы , если , где единичная матрица. Т.к. , то отсюда выводится, что , т.е. обратная матрица определяется только для матриц , определитель которых не равен нулю. Такие матрицы называются невырожденными (квадратные матрицы, у которых определитель равен нулю называются вырожденными). Для неквадратных матриц размером , обратная матрица не определяется.

Приведем последовательность действий, позволяющих найти по заданной матрице .

1. Вычисляем . Если , то делается вывод: не существует. Если матрица существует и для ее нахождения переходим к выполнению следующих пунктов.

2. Находим все алгебраические дополнения матрицы и составляет из них матрицу .

3. Находим .

4. Вычисляем по формуле: .

Свойства обратной матрицы:

, где   обозначает определитель.

 для любых двух обратимых матриц A и B.

 где Т обозначает транспонированную матрицу.

 для любого коэффициента   .

Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор, и если A ^{− 1}существует, то x = A ^{− 1}b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

23. Решение матричных уравнений вида АХ=В и ХА=В. Формулы Крамера

Матричный метод решения невырожденных линейных систем, который еще называют методом решения систем с помощью обратной матрицы, заключается следующем.

1. Представим систему (3) матричным уравнением .

2. Найдем матрицу . Эта матрица существует, т.к. .

3. Умножив слева уравнение на матрицу , получим решение в виде

. (5)

Если система (3) вырождена, то матрица не определена. Поэтому матричный метод решения линейных систем и метод Крамера применимы к одному и тому же классу линейных систем, а именно к множеству линейных невырожденных систем.

Матричный метод применим (помимо невырожденных линейных систем) при решении следующих матричных уравнений: ; ; , в которых - заданные невырожденные квадратные матрицы, - неизвестная матрица, - заданная матрица.

1) В случае решение получаем после умножения уравнения слева на матрицу . Ответом будет .

2) В случае решение находится после умножения уравнения справа на матрицу .

Ответ: .

3) В случае надо умножить это уравнение слева на матрицу и справа на матрицу . Ответ: .