14) Комплексные числа

Комплексным числом в алгебраической форме называется число

, (1)

где называется мнимой единицей и - действительные числа: называется действительной (вещественной) частью; - мнимой частью комплексного числа .

Комплексные числа в алгебраической форме естественным образом возникают при решении квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.

Любое комплексное число изображается вектором на комплексной плоскости , представляющей плоскость с декартовой системой координат . Начало вектора лежит в точке , а конец - в точке с координатами (рис 1.) Ось называется вещественной осью, а ось - мнимой осью комплексной плоскости .

Тригонометрическая форма записи комплексного числа имеет вид: ,

Показательная (экспоненциальная) форма записи комплексного числа имеет вид:

1. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

2. При делении комплексного числа на число получается комплексное число , модуль которого равен отношению модулей , а аргумент - разности аргументов чисел .

По определению, комплексное число называется комплексно сопряженным числу . В этом случае пишут . Очевидно, что . Везде далее черта сверху над комплексным числом будет означать комплексное сопряжение.

Например, .

1. Сложение комплексных чисел производится так:

.

Свойства операции сложения:

- свойство коммутативности;

- свойство ассоциативности.

Нетрудно видеть, что геометрически сложение комплексных чисел означает сложение отвечающих им на плоскости векторов по правилу параллелограмма.

Операция вычитание числа из числа производится так:

.

2. Умножение комплексных чисел производится так:

.

Свойства операции умножения:

- свойство коммутативности;

- свойство ассоциативности;

- закон дистрибутивности.

3. Деление комплексных чисел выполнимо только при и производится так:

.

15) Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексного числа

По определению,

.

При возведении в целую степень комплексного числа , следует действовать так: сначала найти модуль и аргумент этого числа; представить в показательной форме ; найти , выполнив следующую последовательность действий

, где .

16) Многочлен. Сложение, умножение и деление многочлена.(?) Теорема Безу

Многочленом го порядка одной переменной называется функция вида

, (1)

где - заданные числа, называемые коэффициентами многочлена. Порядок многочлена определяется максимальной степенью . Например,

1) - многочлен 3-го порядка, т.к. - максимальная степень в данном многочлене.

Для неправильной дроби справедлива следующая теорема.(теорема Безу)

Справедлива следующая теорема Безу. Остаток от деления многочлена на многочлен равен .

Следствие теоремы Безу. Если - корень многочлена степени , то многочлен нацело делится на многочлен , т.е. , где - многочлен степени .