17) Корень многочлена

Многочленом го порядка одной переменной называется функция вида

, (1)

где - заданные числа, называемые коэффициентами многочлена.

Порядок многочлена определяется максимальной степенью . Например,

1) - многочлен 3-го порядка, т.к. - максимальная степень в данном многочлене. Этот многочлен имеет следующие коэффициенты:

2) - многочлен 2-го порядка. Его коэффициенты:

3) - многочлен 1-го порядка. Его коэффициенты:

4) - многочлен нулевого порядка, .

Корнями многочлена (1) называются решения уравнения

. (2)

Корень многочлена (1) является корнем кратности , если он встречается раз среди всех корней уравнения (2).

18) Основная теорема алгебры утверждает, что всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел. (Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто)

Доказательство:

Самое простое доказательство этой теоремы даётся методами комплексного анализа. Используется тот факт, что функция, аналитическая на всей комплексной плоскости и не имеющая особенностей на бесконечности, есть константа. Посему, функция 1/p, где p — многочлен, должна иметь хоть один полюс на комплексной плоскости, а, соответственно, многочлен имеет хоть один корень.

19. Многочлены с действительными коэффициентами. Теоремы о многочленах с действительными коэффициентами

Если многочлен имеет действительные коэффициенты, то наряду с его разложением над полем (когда считается комплексной величиной) возможно также разложение этого многочлена на множестве действительных чисел (над полем ), когда переменная принимает только действительные значения, и соответственно принимает только действительные значения. При разложении многочлена с действительными коэффициентами над полем следует помнить, что не все многочлены второго порядка приводимы над полем .

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена на многочлен равен .

Основная теорема алгебры многочленов: любой многочлен степени имеет ровно корней, считая каждый корень столько раз, какова его кратность.

Согласно этой теореме любой многочлен с комплексными коэффициентами разлагается в следующее произведение

,

где - все корни многочлена , имеющие кратности соответственно.

20. Понятие матрицы. Диагональные и треугольные матрицы. Транспонирование матриц. Сложение(вычитание) матриц, умножение матрицы на число. Свойства сложения матриц. Свойство умножения матрицы на число

Матрица – прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов, записанная в круглых скобках или двойных прямых чертах.

Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю. Квадратная матрица D = (d_ij), где d_ij = 0 для всяких  , называется диагональной матрицей.

Диагональная матрица имеет вид:

Такая матрица является одновременно и верхнетреугольной и нижнетреугольной.

Квадратная матрица называется треугольной, если под ее главной диагональю (или над ее главной диагональю) все элементы равны нулю.

Примеры треугольных матриц:

- A - верхне-треугольные матрицы 2-го порядка, B - нижне-треугольная матрица 3-го порядка.

Сложение матриц и возможно только для матриц с одинаковыми размерами и производится по правилу: , где .

Операции сложения матриц и умножение матриц на число обладают следующими свойствами:

- свойство коммутативности сложения матриц;

- свойство ассоциативности сложения матриц;

- первый закон дистрибутивности;

- второй закон дистрибутивности.

Нахождение разности матриц определяется с помощью рассмотренных выше операций умножения матрицы на число и сложения матриц: . Аналогично, .

Транспонирование матрицы. Транспонирование матрицы обозначается и означает операцию переписывания строк (столбцов) матрицы в виде соответствующих столбцов (строк).