6.4.3. Ламинарное течение в зазоре

Эффективность работы гидравлических систем и аппаратов существенно зависит от точности подгонки сопрягаемых деталей, т.к. через зазоры происходят утечки рабочей жидкости. Поэтому знание закономерности течения жидкости в зазорах имеет большое практическое значение.

Рассмотрим ламинарное течение в зазоре, образованном двумя па­раллельными плоскими стенками, расстояние между которыми равно а (рис.6.8).

Возьмем для рассмотрения часть потока между двумя произвольными сечениями 1-1 и 2-2, расположенными на расстоянии 1 друг от друга, и шириной b.

Высота взятой части потока равна 2у (по у в обе стороны от оси ОХ, проведенной вдоль потока на одинаковом расстоянии от ограничивающих стенок).

Составим уравнение сил, действующих на выделенный объем при равномерном его движении:

.

Рис.6.8. Схема течения жидкости в зазоре

Приняв b = 1 и обозначив p₁ - р₂ = р, определим из этого выраже­ния приращение скорости, соответствующее приращению координаты dy:

и после интегрирования получим

Постоянную интегрирования находим из граничных условий: при у = 0,5а V = 0.

Тогда и формула закона распределения скоростей по живому сечению будет иметь вид

(6.31)

Используя эту формулу, можно определить расход q, приходящийся на единицу ширины потока (b = 1), для чего возьмем две элементарные площадки размером , которые симметричны относительно оси OZ (рис.6.8). Тогда элементарный расход составит

.

Отсюда получим

. (6.32)

Потеря давления на трение, имея в виду, что полный расход через зазор шириной равен Q = qb, определится по формуле

. (6.33)

На практике зачастую одна из стенок, образующих зазор, перемещается параллельно другой стенке с некоторой скоростью V_ст. Если дав­ление в зазоре по длине постоянно (р = 0), то возникает так называ­емое фрикционное безнапорное движение жидкости. Оно обусловлено тем, что подвижная стенка увлекает за собой жидкость (рис.6.9).

Рис.6.9. Схема фрикционного безнапорного движения

Выделив в таком потоке элемент, как показано на рис.6.9, рассмотрим действующие на него силы.

Поскольку давления р, приложенные к левой и правой граням элемента, равны друг другу, то для обеспечения равновесия сил необходимо равенство касательных напряжений на верхней и нижней гранях, т.е.  =  + d.

Тогда формула (1.18) для данного случая примет вид и после интегрирования будет

Постоянные интегрирования С и C₁ находятся из граничных условий: при у = а/2 V = 0 и при у = - (а/2) V = V_CT.

Отсюда

и .

Тогда закон распределения скоростей имеет вид

(6.34)

Элементарный расход q (b = 1) определяется по средней скорости

(6.35)

В случае, когда перемещение стенки происходит при наличии пере­пада давления в жидкости, находящейся в зазоре, то закон распределе­ния скоростей в нем находится как сумма скоростей от каждого дейс­твующего фактора, т.е. как сумма выражений (6.31) и (6.34):

Знаки ± в данном выражении обусловлены тем, что возможны два варианта:

а) направление движения стенки совпадает с направлением течения жидкости под действием перепада давления (рис.6.10, а);