42. Элементарные преобразования матриц.

К элементарным преобразованиям относятся:

• перестановка строк (столбцов):

• умножение строки (столбца) на ненулевое число:

• прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на ненулевое число;

• удаление нулевой строки;

Элементарное преобразование не меняет ранг.

43. Вычисление ранга с помощью элементарных преобразований.

Найти окаймляющие миноры, и упростить по методу Гаусса.

44. Метод Гаусса.

Метод преобразования матрицы, применённый при доказательстве называется методом Гаусса точнее «Методом Гаусса-Жордана с выбором ведущего элемента по строке».

М

етод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

Разделим обе части 1–го уравнения на a₁₁  0, затем:

1) умножим на а₂₁ и вычтем из второго уравнения

2) умножим на а₃₁ и вычтем из третьего уравнения

и т.д.

Получим: , где d_1j = a_1j/a₁₁, j = 2, 3, …, n+1; d_ij = a_ij – a_i1d_1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.

Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

45. Элементарные преобразования систем линейных уравнений.

1. Решение системы линейных уравнений – это совокупность коэффициентов, с которыми столбец свободных членов раскладывается по столбцам матрицы системы.

2. Если столбцы матрицы системы линейно независимы, то система не может иметь двух различных решений: она или несовместна или имеет единственное решение.

3. Элементарным преобразованиям строк расширенной матрицы системы соответствует преобразования системы уравнений, не меняющий множество её решений.

46. Теорема Кронекера-Капелли.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений (2.2) совместна тогда и только тогда, если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы: (2)

И

наче можно сформулировать так: приписывая к матрице А размером m*n столбца b высоты m не меняет её ранга, тогда и только тогда когда этот столбец - линейная комбинация столбцов А.

Доказательство.

1. Необходимость: пусть система (2) совместна и ее решение. Тогда,

то есть столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы системы и, следовательно, столбцов любого ее базисного минора. Поэтому добавление элементов этого столбца и любой строки расширенной матрицы к базисному минору даст нулевой определитель, то есть

2. Достаточность: если то любой базисный минор матрицы А является и базисным минором расширенной матрицы. Поэтому столбец свободных членов представляет собой линейную комбинацию столбцов этого базисного минора, и, следовательно, линейную комбинацию всех столбцов матрицы А. Если обозначить коэффициенты этой линейной комбинации то эти числа будут решением системы (2), т.е. эта система совместна. Теорема доказана.