91. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть в пространстве задана общая декартова система координат и две точки M₁ и М₂, с координатами (х₁, у₁, z₂) и (х₂, у₂, z₃). Что бы написать уравнение прямой М₁М₂ примем М₁ за начальную точку, а вектор за направляющих вектор. Это вектор не нулевой, если точки не совпадают. По формуле мы получаем: .

Если в этих равенствах какое-либо из знаменателей равен нулю, то следует приравнять нулю соответствующих числитель, в планиметрии задание решается также. Отличие только в том, что координаты точек (x₁, y₁) и (x₂, у₂), и мы получаем:

92. Угол между плоскостями.

Угол между плоскостями находится по формуле:

Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.

93. Угол между прямыми в пространстве.

Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения: l₁:

; l₂: ;

Угол между прямыми  и угол между направляющими векторами  этих прямых связаны соотношением:  = ₁ или  = 180⁰ - ₁. Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом:

.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.

Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю: m₁m₂+n₁n₂+p₁p₂=0.

94. Взаимное расположение прямых в пространстве (канонические и общие уравнения).

Взаимное расположение двух прямых и пространстве характеризуется следующими тремя возможностями.

1. Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек — параллельные прямые.

2. Прямые лежат и одной плоскости и имеют одну общую точку — прямые пересекаются.

3. В пространстве две прямые могут быть расположены еще так, что не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (не пересекаются и не параллельны).

Т еорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, которая не лежит на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

На рис. 26 прямая a лежит в плоскости α, а прямая с пересекает α в точке N. Прямые a и с — скрещивающиеся.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит только одна плоскость, параллельная другой прямой.

На рис. 26 прямые a и b скрещиваются. Черен прямую а проведена плоскость α || b (в плоскости β указана прямая a₁ || b).

Канонические и параметрические уравнения прямой

Положение прямой L в пространстве должным образом определяется заданием т. L.

Обозначим через L (рис. 3.8).

Тогда . Рис. 3.8

Эти уравнения прямой L именуют каноническими. Если приравнять эти отношения параметру t и определить t, то будем иметь параметрические уравнения прямой: x=x₀+mt, y=y₀+nt, z=z₀+pt (3.3)

В евклидовом пространстве c ортонормированным базисом канонические уравнения прямой записываются как, — направляющий вектор.

Допустим заданы две точки L. В этом случае , получаем уравнения прямой, которая проходит через заданные точки: .

Например, уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки M₁ (x₁, y₁), M₂ (x₂, y₂):

Общие уравнения прямой

Проанализируем систему из двух уравнений I степени:

(3.4)

Каждое из уравнений системы является определителем плоскости в пространстве, а вся система, при условии непараллельности плоскостей, — прямую, по которой они пересекаются. Эти уравнения именуют общими уравнениями прямой. Направляющий вектор подобной прямой определяется по формуле , где N₁, N₂ – нормальные векторы плоскостей.

Задача. Даны общие уравнения прямой L:

Вывести её канонические уравнения.

Определяем направляющий вектор .

Для определения координат опорной т. L, имеем систему для определения x₀, y₀:

Следовательно, канонические уравнения прямой L имеют следующий вид: