- •Тема 1. Элементы общей алгебры
- •Комплексные числа, действия над ними.
- •Тригонометрическая форма, сопряженные числа.
- •Формула Муавра.
- •Извлечение квадратного корня, корни высших степеней,
- •Корни из единицы.
- •Многочлены одной переменной, операции над ними.
- •Алгоритм деления с остатком.
- •Делимость многочленов, ее свойства.
- •Наибольший общий делитель, алгоритм Евклида.
- •Метод Горнера.
- •Основная теорема алгебры (без док-ва).
- •Формулы Виета.
- •Тема 2. Теория определителей
- •Определители второго и третьего порядка.
- •Определители -го порядка. (определители высших порядков)
- •Перестановки, инверсии.
- •Три свойства перестановок.
- •Свойства определителей: определитель транспонированной матрицы, перемена местами строк в определителе, определитель матрицы с одинаковыми строками.
- •Свойства определителей: разложение определителя по строке.
- •Определитель ступенчатой матрицы.
- •Тема 3. Алгебра матриц
- •Линейное преобразование, умножение линейных преобразований.
- •Произведение матриц.
- •Матричная запись линейного преобразования и системы линейных уравнений.
- •Ассоциативность умножения матриц, транспонирование произведения матриц, умножение на единичную матрицу.
- •Сложение, вычитание матриц, произведение матрицы на число.
- •Сложение матриц.
- •Умножение матрицы на число.
- •Законы дистрибутивности, ассоциативность умножения на число, скалярная матрица.
- •Линейная комбинация матриц, многочлен от матрицы.
- •Сложение и умножение многочленов от матриц.
- •Обратная, неособенная, взаимная матрица.
- •Условие существования, вычисление обратной матрицы.
- •Обратная матрица для произведения матриц.
- •Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
- •Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
- •Собственные числа и собственные столбцы матрицы.
- •Характеристический многочлен.
- •Собственные числа вещественной симметричной матрицы.
- •Теорема Гамильтона-Кэли.
- •Тема 4. Системы линейных уравнений
- •Системы линейных уравнений, их типы.
- •Теорема Крамера.
- •Ранг матрицы.
- •Элементарные преобразования матриц.
- •Вычисление ранга с помощью элементарных преобразований.
- •Метод Гаусса.
- •Элементарные преобразования систем линейных уравнений.
- •Теорема Кронекера-Капелли.
- •Теорема о числе решений системы линейных уравнений.
- •Однородные системы линейных уравнений. Общее решение однородной линейной системы.
- •Линейная комбинация решений, фундаментальная система решений.
- •Теоремы о структуре общего решения однородной и неоднородной системы линейных уравнений.
- •Тема 5. Квадратичные формы
- •Квадратичная форма, ее матрица, матричная запись квадратичной формы.
- •Тема 6. Алгебра векторов
- •Геометрический вектор, модуль вектора, коллинеарные и компланарные вектора.
- •Свободные, скользящие и связанные вектора.
- •Сумма, разность векторов, произведение вектора на число. Свойства этих операций.
- •Угол между векторами.
- •Вычисление ортогональной проекции.
- •Ортогональная проекция суммы векторов и произведения вектора на число.
- •Линейная комбинация векторов, линейно независимые вектора. Условия линейной зависимости векторов.
- •Базис, разложение вектора по базису, координаты вектора.
- •Изменение координат при сложении векторов и умножении вектора на число, координаты коллинеарных векторов.
- •Ортогональный и ортонормированный базис, направляющие косинусы.
- •Скалярное произведение векторов. Ортогональные вектора, скалярный квадрат.
- •Свойства скалярного произведения, вычисление скалярного произведения через координаты вектора.
- •Правая тройка векторов.
- •Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения.
- •Вычисление векторного произведения в координатах.
- •Тема 7. Метод координат
- •Декартова система координат.
- •Тема 8. Прямая и плоскость
- •Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
- •Прямая на плоскости и алгебраическая кривая первого порядка. Общее уравнение прямой.
- •Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •Угол между прямыми.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Плоскость в пространстве и алгебраическая поверхность первого порядка. Общее уравнение плоскости.
- •Векторное, параметрическое, каноническое уравнение прямой.
- •Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.
- •Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
- •Угол между плоскостями.
- •Угол между прямыми в пространстве.
- •Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
- •Взаимное расположение прямых в пространстве (канонические и общие уравнения).
- •Взаимное расположение прямой и плоскости.
- •Угол между прямой и плоскостью.
- •Расстояние от точки до плоскости.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Расстояние между прямой и плоскостью.
Тема 8. Прямая и плоскость
Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
Уравнением линии называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию.
Прямая на плоскости и алгебраическая кривая первого порядка. Общее уравнение прямой.
Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.
В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
C = 0, А 0, В 0 – прямая проходит через начало координат
А = 0, В 0, С 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
В = 0, А 0, С 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
В = С = 0, А 0 – прямая совпадает с осью Оу
А = С = 0, В 0 – прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно вектору.
Прямая, проходящая через точку М1(х1, у1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:
Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду: и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.
П араметрическое, векторное, каноническое уравнение прямой.
Параметрические уравнения прямой: x = x0 + lt, y = y0 + mt
Векторное уравнение прямой:
Каноническое уравнение прямой:
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Уравнение прямой в отрезках. , где
Нормальное уравнение прямой.
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем, то получим xcos + ysin - p = 0 – нормальное уравнение прямой.
Знак нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы С < 0, р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
Угол между плоскостями находится по формуле:
Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.
Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если: .
Плоскости параллельны, если векторы нормалей коллинеарны: .Это условие выполняется, если: .
Угол между прямыми.
Если заданы две прямые y = k1x + b1, y = k2x + b2, то острый угол между этими прямыми будет определяться как ,
где две прямые параллельны, если k1 = k2. Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/k2.