- •Тема 1. Элементы общей алгебры
- •Комплексные числа, действия над ними.
- •Тригонометрическая форма, сопряженные числа.
- •Формула Муавра.
- •Извлечение квадратного корня, корни высших степеней,
- •Корни из единицы.
- •Многочлены одной переменной, операции над ними.
- •Алгоритм деления с остатком.
- •Делимость многочленов, ее свойства.
- •Наибольший общий делитель, алгоритм Евклида.
- •Метод Горнера.
- •Основная теорема алгебры (без док-ва).
- •Формулы Виета.
- •Тема 2. Теория определителей
- •Определители второго и третьего порядка.
- •Определители -го порядка. (определители высших порядков)
- •Перестановки, инверсии.
- •Три свойства перестановок.
- •Свойства определителей: определитель транспонированной матрицы, перемена местами строк в определителе, определитель матрицы с одинаковыми строками.
- •Свойства определителей: разложение определителя по строке.
- •Определитель ступенчатой матрицы.
- •Тема 3. Алгебра матриц
- •Линейное преобразование, умножение линейных преобразований.
- •Произведение матриц.
- •Матричная запись линейного преобразования и системы линейных уравнений.
- •Ассоциативность умножения матриц, транспонирование произведения матриц, умножение на единичную матрицу.
- •Сложение, вычитание матриц, произведение матрицы на число.
- •Сложение матриц.
- •Умножение матрицы на число.
- •Законы дистрибутивности, ассоциативность умножения на число, скалярная матрица.
- •Линейная комбинация матриц, многочлен от матрицы.
- •Сложение и умножение многочленов от матриц.
- •Обратная, неособенная, взаимная матрица.
- •Условие существования, вычисление обратной матрицы.
- •Обратная матрица для произведения матриц.
- •Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
- •Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
- •Собственные числа и собственные столбцы матрицы.
- •Характеристический многочлен.
- •Собственные числа вещественной симметричной матрицы.
- •Теорема Гамильтона-Кэли.
- •Тема 4. Системы линейных уравнений
- •Системы линейных уравнений, их типы.
- •Теорема Крамера.
- •Ранг матрицы.
- •Элементарные преобразования матриц.
- •Вычисление ранга с помощью элементарных преобразований.
- •Метод Гаусса.
- •Элементарные преобразования систем линейных уравнений.
- •Теорема Кронекера-Капелли.
- •Теорема о числе решений системы линейных уравнений.
- •Однородные системы линейных уравнений. Общее решение однородной линейной системы.
- •Линейная комбинация решений, фундаментальная система решений.
- •Теоремы о структуре общего решения однородной и неоднородной системы линейных уравнений.
- •Тема 5. Квадратичные формы
- •Квадратичная форма, ее матрица, матричная запись квадратичной формы.
- •Тема 6. Алгебра векторов
- •Геометрический вектор, модуль вектора, коллинеарные и компланарные вектора.
- •Свободные, скользящие и связанные вектора.
- •Сумма, разность векторов, произведение вектора на число. Свойства этих операций.
- •Угол между векторами.
- •Вычисление ортогональной проекции.
- •Ортогональная проекция суммы векторов и произведения вектора на число.
- •Линейная комбинация векторов, линейно независимые вектора. Условия линейной зависимости векторов.
- •Базис, разложение вектора по базису, координаты вектора.
- •Изменение координат при сложении векторов и умножении вектора на число, координаты коллинеарных векторов.
- •Ортогональный и ортонормированный базис, направляющие косинусы.
- •Скалярное произведение векторов. Ортогональные вектора, скалярный квадрат.
- •Свойства скалярного произведения, вычисление скалярного произведения через координаты вектора.
- •Правая тройка векторов.
- •Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения.
- •Вычисление векторного произведения в координатах.
- •Тема 7. Метод координат
- •Декартова система координат.
- •Тема 8. Прямая и плоскость
- •Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
- •Прямая на плоскости и алгебраическая кривая первого порядка. Общее уравнение прямой.
- •Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •Угол между прямыми.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Плоскость в пространстве и алгебраическая поверхность первого порядка. Общее уравнение плоскости.
- •Векторное, параметрическое, каноническое уравнение прямой.
- •Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.
- •Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
- •Угол между плоскостями.
- •Угол между прямыми в пространстве.
- •Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
- •Взаимное расположение прямых в пространстве (канонические и общие уравнения).
- •Взаимное расположение прямой и плоскости.
- •Угол между прямой и плоскостью.
- •Расстояние от точки до плоскости.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Расстояние между прямой и плоскостью.
Определители -го порядка. (определители высших порядков)
Определителем n-го порядка, соответствующим матрице nn, называется число:
Основные методы вычисления определителей:
Метод понижения порядка определителя основан на соотношении: (1)
где называется алгебраическим дополнением элемента -го. Минором элемента -го называется определитель n-1 порядка, получающийся из исходного определителя вычеркиванием i-той строки и j-го столбца.
Соотношение (1) называется разложением определителя по i-той строке. Аналогично можно записать и разложение определителя по столбцу:
Теорема: Для любой квадратной матрицы имеет место равенство ,
где и – символ Кронекера
Метод приведения к треугольному виду основан на седьмом свойстве определителей.
Пример: Вычислить определитель: Вычтем первую строку из всех остальных.
Метод рекуррентных соотношений позволяет выразить данный определитель через определитель того же вида, но более низкого порядка.
Перестановки, инверсии.
Всякое расположение чисел 1, 2, ..., n в некотором определенном порядке, называется перестановкой из n символов (чисел).
Общий вид перестановки: .
Ни одно из не встречается в перестановке дважды.
Перестановка называется четной, если ее элементы составляют четное число инверсий, и нечетной в противном случае.
Числа k и р в перестановке составляют инверсию (беспорядок), если k > р, но k стоит в этой перестановке перед р.
Три свойства перестановок.
Свойство 1: Число различных перестановок равно ( , читается: «n факториал»).
Доказательство. Число перестановок совпадает с числом способов, которыми можно составить различные перестановки. При составлении перестановок в качестве j1 можно взять любое из чисел 1, 2, …, n, что дает n возможностей. Если j1 уже выбрано, то в качестве j2 можно взять одно из оставшихся n – 1 чисел, и число способов, которыми можно выбрать j1 и j2 будет равно и т.д. Последнее число в перестановке можно выбрать только одним способом, что дает способов, а значит, и перестановок.
Свойство 2: Всякая транспозиция меняет четность перестановки.
Доказательство. Случай 1. Транспонируемые числа стоят в перестановке рядом, т.е. она имеет вид (..., k, p, ...), здесь многоточием (...) отмечены числа, которые при транспозиции остаются на своих местах. Транспозиция превращает ее в перестановку вида (..., p, k,...). В этих перестановках каждое из чисел k, р составляет одни и те же инверсии с числами, остающимися на местах. Если числа k и p ранее не составляли инверсии, (т.е. k < р), то в новой перестановке появится еще одна инверсия и число инверсий увеличится на одну; если же k и р составляли инверсию, то после транспозиции число инверсий станет меньше на одну. В любом случае четность перестановки меняется.
Свойство 3: при перестановке определитель меняет знак.
Свойства определителей: определитель транспонированной матрицы, перемена местами строк в определителе, определитель матрицы с одинаковыми строками.
Свойство 1. Определитель не изменяется при транспонировании, т.е.
Доказательство.
=
Замечание. Следующие свойства определителей будут формулироваться только для строк. При этом из свойства 1 следует, что теми же свойствами будут обладать и столбцы.
Свойство 6. При перестановке двух строк определителя он умножается на –1.
Доказательство.
Свойство 4. Определитель, имеющий две равные строки, равен 0:
Доказательство: