- •Проекции центральные и параллельные
- •3)Метод Гаспара Монжа
- •6) Проекции отрезка прямой линии
- •8) Точка на прямой
- •9) Следы прямой
- •10) Построение на чертеже натуральной величины
- •1Определены из прямоугольного треугольника, построенного на проекции а'в'
- •12) О проекциях плоских углов
- •1. Если плоскость, которой расположен некоторый угол, перпендикулярна
- •2. Если плоскость прямого угла не перпендикулярна к плоскости проекций
- •3. Если проекция плоского угла представляет собой прямой угол, то
- •4. Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна
- •2) Интересующихся доказательством обратных теорем отсылаем к
- •5. Ecли плоскость тупого или острого угла не перпендикулярна к
- •6. Если обе стороны любого угла, параллельны плоскости проекций, то его
- •0; С°в° || св. Пл. , проведенная через точку с перпендикулярно к св,
- •13) Различные способы задания плоскости на чертеже
- •14) Следы плоскости
- •15)16)Прямая и точка в плоскости. Прямые особого положения
- •1) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки,
- •2) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку,
- •2) Для линии ската плоскости распространено название "линия
- •108, Справа, на котором изображена пл. И прямая mb, устанавливаем, что эта
- •17) Построение линии пересечения двух плоскостей
- •1, В своем пересечении определяют первую точку, к1, линии пересечения
- •1'2', И 3'4', следует для проекций 5'6' и 7'8' взять по одной
- •167 Показывает, что и пересекаются между собой, хотя их горизонтали
- •22) Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости
- •1) Через точку а провести плоскость (назовем ее ), перпендикулярную к
- •2) Определить точку к пересечения прямой вс с ил. ;
- •1,2 Дополнительной плоскости и образования, таким образом, системы 3, 1,
- •90°. Аналогично, если пл. Составляет с пл. 2 угол ?, а прямая am,
- •23) Построение взаимно перпендикулярных плоскостей
- •194 Горизонтально-проецирующая плоскость проходит через точку к
- •31. Построение проекций угла между прямой и плоскостью и между двумя
1'2', И 3'4', следует для проекций 5'6' и 7'8' взять по одной
точке, хотя бы 5 и 8, так как 5'6' || Г2' и 7'8' % 3'4'.
В рассмотренном построении были взяты в качестве вспомогательных две
фронтально-проецирующие плоскости. Конечно, можно было взять и иные
плоскости, например две горизонтальные или одну горизонтальную, другую
фронтальную и т. д. Сущность построений от этого не меняется. Однако может
встретиться такой случай. Положим, что были взяты в качестве вспомогательных
две горизонтальные плоскости и полученные при пересечении ими
плоскостей и горизонтали оказались взаимно параллельными. Но рис.
167 Показывает, что и пересекаются между собой, хотя их горизонтали
параллельны. Следовательно, получив взаимно параллельные горизонтальные
проекции горизонталей AB и CD и зная, что плоскости при этом не обязательно
параллельны, а могут пересекаться (по общей для них горизонтали), надо
испытать плоскости и при помощи хотя бы горизонтально-проецирующей
плоскости (см. рис. 167); если прямые, по которым эта вспомогательная
плоскость пересечет и , также оказались бы параллельны одна другой, то
плоскости и не пересекаются, а параллельны одна другой. На рис. 167 эти
прямые пересекаются в точке К, через которую и проходит линия пересечения
плоскостей и параллельно прямым BA и CD.
Если плоскости заданы их следами на плоскостях проекций, то естественно
искать точки, определяющие прямую пересечения плоскостей, в точках
пересечения одноименных следов плоскостей (рис. 168): прямая, проходящая
через эти точки, является общей для обеих плоскостей, т. е. их линией
пересечения.
67
Схему построения линии пересечения двух плоскостей (см. рис. 166)
можно, конечно, распространить и на случай задания плоскостей их следами.
Здесь роль вспомогательных секущих плоскостей исполняют сами плоскости
проекций:
Точки пересечения одноименных следов плоскостей являются следами линии
пересечения этих плоскостей. Поэтому для построения проекций линии
пересечения плоскостей (рис. 168) надо: 1) найти точку М' в пересечении
следов h'0 и h'0
Рис. 171
и точку N" в пересечении f"o и f"o, а по ним -- проекции М" и N'; 2)
провести прямые линии M"N" и M'N'.
На рис. 169--171 показаны случаи, когда известно направление линии
пересечения. Поэтому достаточно иметь лишь одну точку от пересечения следов
и далее провести через эту точку прямую, исходя из положения плоскостей и их
следов.
22) Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости
Из всех возможных положений прямой, пересекающей плоскость, отметим
случай, когда прямая перпендикулярна к плоскости, и рассмотрим свойства
проекций такой прямой.
На рис. 185 задана плоскость, определяемая двумя пересекающимися
прямыми AN и AM, причем AN является горизонталью, a AM -- фронталью этой
плоскости. Прямая АВ, изображенная на том же чертеже, перпендикулярна к AN и
к AM и, следовательно, перпендикулярна к определяемой ими плоскости.
Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен к любой прямой, проведенной в
этой плоскости. Но чтобы при этом проекция перпендикуляра к плоскости общего
положения оказалась перпендикулярной к одноименной проекции какой-либо
прямой этой плоскости, прямая должна быть горизонталью, или фронталью, или
профильной прямой плоскости. Поэтому, желая построить перпендикуляр к
плоскости, берут в общем случае две такие прямые (например, горизонталь и
фронталь, как это показано на рис. 185).
Итак, у перпендикуляра к плоскости его горизонтальная проекция
перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, фронтальная проекция
перпендику-
74
лярна к фронтальной проекции фронтали, профильная проекция
перпендикулярна к профильной проекции профильной прямой этой плоскости.
Очевидно, в случае, когда плоскость выражена следами (рис. 186), мы
получаем следующий вывод: если прямая перпендикулярна к плоскости, то
горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна к горизонтальному следу
плоскости, а фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальному следу
плоскости.
Итак, если в системе ,, 2 горизонтальная проекция прямой
перпендикулярна к горизонтальному следу и фронтальная проекция прямой
перпендикулярна к фронтальному следу плоскости, то в случае плоскостей
общего положения (рис. 186), а также горизонталъно-и фронтально-проецирующих
прямая перпендикулярна к плоскости. Но для профильно-проецирующей плоскости
может оказаться, что прямая к этой плоскости не перпендикулярна, хотя
проекции прямой соответственно перпендикулярны к горизонтальному и
фронтальному следам плоскости. Поэтому в случае профильно-проецирующей
плоскости надо рассмотреть также взаимное положение профильной проекции
прямой и профильного следа данной плоскости и лишь после этого установить,
будут ли перпендикулярны между собой данные прямая и плоскость.
Очевидно (рис. 187), горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости
сливается с горизонтальной проекцией линии ската, проведенной в плоскости
через основание перпендикуляра.
На рис. 186 из точки А проведен перпендикуляр к пл. (А"С" % f"o, AC
% h'o и показано построение точки Е, в которой перпендикуляр АС пересекает
пл. . Построение выполнено с помощью горизонтально-проецирующей пл. ,
проведенной через перпендикуляр АЕ.
На рис. 188 показано построение перпендикуляра к плоскости,
определяемой треугольником ABC. Перпендикуляр'проведен через точку А.
Так как фронтальная проекция перпендикуляра к плоскости должна быть
перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали плоскости, а его
горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции
горизонтали, то в плоскости через точку А проведены фронталь с проекциями
A'D' и A"D" и горизонталь А"Е", А'Е'. Конечно, эти прямые не обязательно
проводить именно через точку А.
Далее проведены проекции перпендикуляра: M"N"% A"D", M'N'% A'E'. Почему
проекции на рис. 188 на участках A"N" и А'М' показаны штриховыми линиями?
Потому, что здесь рассматривается плоскость, заданная треугольником ABC, а
не только этот треугольник: перпендикуляр находится частично перед
плоскостью, частично за ней.
75
На рис. 189 и 190 показано построение плоскости, проходящей через точку
А перпендикулярно к прямой ВС. На рис. 189 плоскость выражена следами.
Построение начато с проведения через точку А горизонтали искомой плоскости:
так как горизонтальный след плоскости должен быть перпендикулярен к В'С, то
и горизонтальная проекция горизонтали должна быть перпендикулярна к В'С.
Поэтому A'N'% В'С'. Проекция A"N" \\ оси х, как это должно быть у
горизонтали. Затем проведен через точку " (" - фронтальная проекция
фронтального следа горюонтали AN) след f"o% В"С", получена точка X, и
проведен след h'o" II-4'-V' (h^LB'C).
На рис. 190 плоскость определена ее фронталью AM и горизонталью AN. Эти
прямые перпендикулярны к ВС (А"М"% В"С", A'N' %
В'С); определяемая ими плоскость перпендикулярна к ВС.
Так как перпендикуляр к плоскости перпендикулярен к каждой прямой,
проведенной в этой плоскости, то, научившись проводить плоскость
перпендикулярно к прямой, можно воспользоваться этим для проведения
перпендикуляра из некоторой точки А к прямой общего положения ВС. Очевидно,
можно наметить следующий план построения проекций искомой прямой: