10) Построение на чертеже натуральной величины

ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ

И УГЛОВ НАКЛОНА ПРЯМОЙ К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ 1 и 2

Из рассмотрения левой части рис. 69 можно заключить, что отрезок АВ

является гипотенузой прямоугольного треугольника АВ1, в котором один катет

равен проекции отрезка (А1 = А°В°), а другой катет равен разности расстояний

концов отрезка от плоскости проекций 0.

Рис. 69

32

Если координаты, определяющие расстояния концов отрезка от плоскости

проекций, имеют разные знаки (рис. 69, справа), то надо иметь в виду

разность алгебраическую:

В1 = ВВ° - (-АА⁰) = ВВ° + АА°.

Угол прямой линии с плоскостью проекций определяется как угол,

составленный прямой с ее проекцией на этой плоскости. Этот _ угол входит в

тот же прямоугольный треугольник, который строят для определения натуральной

величины отрезка.

Очевидно, зная по чертежу катеты треугольника, можно его построить в

любом месте поля чертежа. На рис. 70 показано построение, примененное Г.

Монжем:

Рис. 70 Рис. 71 Рис. 72

от точки 1 отложен отрезок , равный проекции A'ff, и проведена

гипотенуза А"У, выражающая натуральную величину отрезка АВ. Угол с вершиной

в точке А" равен углу между АВ и пл. 1

На рис. 71 слева длина отрезка АВ и угол, составленный прямой АВ с пл.

1Определены из прямоугольного треугольника, построенного на проекции а'в'

при втором катете В'В*, равном В"1. АВ = А'В*.

На рис. 71 справа длина отрезка и угол, составленный с пл. п2,

определены из прямоугольного треугольника, построенного на проекции А"В"

(А"А* = А'2). АВ = В"А*.

Ограничены ли чем-либо углы . и - для прямой общего положения? Да,

каждый из них может быть только острым. Но, кроме того, для прямой общего

положения - + - < 90°. Действительно (рис. 72), в прямоугольном

треугольнике ""' сумма углов + - = 90°. Но в треугольниках ""'

''' при общей гипотенузе "' катет "" больше катета "' и,

следовательно, >1. Подставляя в + 2=90° угол вместо , получим

1+ 2<90°.

Рассмотрим (рис. 71) прямоугольные треугольники А'В'В* и A"B"A*. В

каждом из них гипотенуза выражает натуральную величину отрезка, а один из

катетов является проекцией этого отрезка. Другой же катет равен разности

расстояний концов отрезка от соответствующей плоскости проекций (В'В* - В"1

= разности расстояний от nlt a A"A* = А'2 = разности расстояний от я2).

Кроме того, в одном из этих треугольников содержится угол между отрезком и

пл. 1 (угол ), в другом -- угол между отрезком и пл. 2 (угол 2).

В данном случае нам были известны катеты и мы определяли гипотенузу и

угол. Но может быть и такое положение: известны гипотенуза и угол,

определить катеты (т. е. даны натуральная величина отрезка и углы,

составляемые им с плоскостями проекций; построить проекции этого отрезка).

Положим (рис. 73), что AB есть заданный отрезок (на рис. 71 он

соответствует гипотенузам A'B* и B"A*). Построим на нем, как на диаметре,

окружность. Приняв точку А за вершину, построим угол (т. е. заданный угол

с пл. 1) и прямоугольный треугольник А1В. Из сравнения этого треугольника с

треугольником А'В'В* (рис. 71) следует, что катет А1 выражает горизонтальную

проекцию отрезка AB,a катет В1 -- разность расстояний концов отрезка АВ от

пл. 1.

В. О. Гордон, М. А. Семенцов-Огиевсшй

33

Построим (рис. 73) также прямоугольный треугольник А2В по той же

гипотенузе AB и заданному углу <рг с плоскостью проекций 2 и сравним его

с треугольником В"А"А* на рис.71. Очевидно, катет В2 выражает· фронтальную

проекцию заданного отрезка, а катет А2 -- разность расстояний концов отрезка

от пл. 2.

Теперь построим чертеж (рис. 74). Положим, что отрезок надо провести

через точку В влево вниз на себя. Отложив на линии связи B"B' от точки В"

отрезок В"1, равный В! (см. рис. 73), проведем через точку 1 прямую

перпендикулярно к В"В". Засекая эту прямую из точки В" дугой, радиус которой

должен равняться фронтальной проекции, т. е. отрезку В2, получим точку А".

Чтобы найти горизонтальную проекцию А', можно засечь линию связи.

Рис. 73 Рис. 74 Рис. 75

проведенную через точку А", дугой, радиус которой равен А1 (см. рис.

73). При этом должно получиться А"А' -- = А2.

На рис. 74 дано лишь одно положение отрезка. Но может быть еще семь

других положений при начальной точке В. Предоставляем читателю изобразить

отрезок АВ и в этих положениях.

На рис. 75 дан пример определения расстояния от точки А до точки О.

Сначала построены проекции искомого отрезка -- А"О" и А'О' (точка О выражена

ее проекциями О" и О'). Затем построен треугольник А'О'А*, один катет

которого -- проекция А'О', другой -- отрезок А'А* = А"АХ. Искомое расстояние

определяется гипотенузой О'А*.

Теперь мы можем определить угол, составляемый прямой, равнонаклоненной

к плоскостям 1, 2 и 3, с этими плоскостями. Об этом угле говорилось в

10, и была указана его величина ( ~ 35°). Ее можно определить, если

рассмотреть хотя

Рис. 76 Рис. 77

бы рис. 76: проекции А"В" и А'В' равны между собой, и углы А"В"1 и

2А'В' равны каждый 45° (см. 10).

34

Искомый угол определен из прямоугольного треугольника А'В'В*, в_котором

катет '*=. Если принять В"1 равным единице, то А'В' = А"В" = у 2 и угол

-"35°15'. Таковы же углы между этой прямой и плоскостями 2 и 3.

Если применить то, что было сказано в 8, т. е. дополнить систему 1,

2 системой 4, 1, выбрав пл. 4% 1 и параллельно заданному на чертеже

отрезку прямой линии, то, очевидно, проекция этого отрезка на пл. 4 выразит

его натуральную величину и угол с пл. 1.

Положим (рис.77), требуется определить натуральную величину отрезка,АВ

и угол его с пл. 1. В систему 1 , 2 введена пл. 4 % 1 так, что 4

II АВ. Возникла дополнительная система 4, 1. В ней АВ \\ 4 (ось 4/

1 || А'В¹); проекция выражает

натуральную величину отрезка АВ.

11)ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ

Параллельные прямые. К числу свойств параллельного проецирования

относится следующее: проекции двух параллельных прямых параллельны между

собой. Если (рис. 78) прямая АВ параллельна прямой CD, то проецирующие

плоскости ос и параллельны между собой и при пересечении этих плоскостей с

плоскостью проекций 0 получаются параллельные между собой проекции А°В° и

C°D°.

Однако, хотя А°В° \\ C°D° (рис. 78), прямые, для которых А°В° и

С⁰D⁰ являются проекциями, могут быть не параллельны

между собой: например, прямая АВ не параллельна прямой C1D1.

Из указанного свойства параллельного проецирования следует, что

горизонтальные проекции параллельных прямых параллельны между собой,

фронтальные проекции параллельны между собой и профильные проекции

параллельны между собой.

Справедливо ли обратное заключение, т. е. будут ли параллельны две

прямые в пространстве, если на чертеже их одноименные проекции попарно

параллельны?

Рис. 78 Рис. 79 Рис. 80

Да, если даны параллельные между собой проекции на каждой из трех

плоскостей проекций 1, 2 и 3. Но если даны параллельные между собой

проекции прямых лишь на двух плоскостях проекций, то этим параллельность

прямых в пространстве подтверждается всегда для прямых общего положения и

может не подтвердиться для прямых, параллельных одной из плоскостей

проекций.

Пример дан на рис. 79. Хотя профильные прямые АВ и CD заданы проекциями

А'В', А"В" и CD', C"D", между собой параллельными, но самые прямые не

параллельны -- это видно из взаимного расположения их профильных проекций,

построенных по заданным проекциям.

Итак, вопрос был решен при помощи проекций прямых на той плоскости

проекций, по отношению к которой данные! прямые параллельны.

На рис. 80 показан случай, когда можно установить, что профильные

прямые АВ и CD не параллельны между собой, не прибегая к построению третьей

35

проекции: достаточно обратить внимание на чередование буквенных

обозначений.

Если через данную точку А требуется провести прямую, параллельную

данной прямой LM, то (рис. 81, слева) построение сводится к проведению через

точку А" прямой, параллельной L"M", и через точку А' прямой, параллельной

L'M'.

Рис. 81

В случае, изображенном на рис. 81 справа, параллельные прямые

расположены в общей для них проецирующей плоскости, перпендикулярной к пл.

,. Поэтому горизонтальные проекции этих прямых расположены на одной прямой.

Пересекающиеся прямые. Если прямые линии пересекаются, то их

одноименные проекции пересекаются между собой в точке, которая является

проекцией точки пересечения этих прямых.

Действительно (рис. 82), если точка К принадлежит обеим прямым АВ и CD,

то проекция этой точки должна быть точкой пересечения проекций данных

прямых.

Заключение о том, что данные на чертеже прямые пересекаются между

собой, можно сделать всегда по отношению к прямым общего положения,

независимо от того, даны ли проекции на трех или двух плоскостях проекций.

Необходимым и достаточным условием является лишь то, чтобы точки пересечения

одноименных

Рис. 82 Рис. 85

проекций находились на одном и том же перпендикуляре к соответствующей

оси проекций (рис. 83) или, на чертеже без оси проекций (рис, 84), эти точки

оказались бы на линии связи установленного для нее направления. Но если одна

из данных прямых параллельна какой-либо из плоскостей проекций, а на чертеже

не даны проекции на этой плоскости, то нельзя утверждать, что такие прямые

пересекаются между собой, хотя бы и было соблюдено указанное выше условие.

Например, в случае, данном на рис. 85, прямые АВ и CD, из которых прямая CD

параллельна пл. 3, не пересекаются между собой; это может быть подтверждено

построением профильных проекций или применением правила о делении отрезков в

данном отношении.

36

Изображенные на рис. 84 пересекающиеся прямые расположены в общей для

них проецирующей плоскости, перпендикулярной к пл. я-. Поэтому фронтальные

проекции этих прямых расположены на одной прямой.

Скрещивающиеся прямые. Скрещивающиеся прямые линии не пересекаются и не

параллельны между собой. На рис. 86 изображены две скрещивающиеся прямые

общего положения: хотя одноименные проекции и пересекаются между собой, но

точки их пересечения не могут быть соединены линией связи, параллельной

линиям связи L"L' и М"М', т. е. эти прямые не пересекаются между собой.

Прямые, изображенные на рис. 79, 80 и 85, также скрещивающиеся.

Как надо рассматривать точку пересечения одноименных проекций

скрещивающихся прямых? Она представляет собой проекции двух точек, из

которых одна

принадлежит первой, а другая -- второй из этих скрещивающихся прямых.

Например, на рис. 87 точка с проекциями К" и К' принадлежит прямой АВ, а

точка с проекциями L" и L' принадлежит прямой CD. Эти точки одинаково

удалены от пл. 2, но расстояния их от пл. , различны: точка с проекциями

L" и L' дальше от nt, чем точка с проекциями К" и К' (рис. 88).

Точки с проекциями ", ' и ", ' одинаково удалены от пл. 1, но

расстояния этих точек от пл. 2 различны.

Точка с проекциями L" и L', принадлежащая прямой CD, закрывает собой

точку с проекциями К" и К' прямой АВ по отношению к пл. ^ соответствующее

направление взгляда показано стрелкой у проекции L". По отношению к пл. 2

точка с проекциями " и ' прямой CD закрывает собой точку с проекциями М" и

М' прямой АВ; направление взгляда указано стрелкой внизу, у проекции N'.

Обозначения проекций "закрытых" точек помещены в скобках¹).