15)16)Прямая и точка в плоскости. Прямые особого положения
Как построить на чертеже прямую линию, лежащую в заданной плоскости?
Это построение основано на двух положениях, известных из геометрии.
1) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки,
принадлежащие данной плоскости.
2) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку,
принадлежащую данной плоскости, и параллельна прямой, находящейся в этой
плоскости или параллельной ей.
Положим, что пл. а (рис. 106) определена двумя пересекающимися прямыми
АВ и СВ, а пл. -- двумя параллельными -- DE и FG. Согласно первому положе-
Рис. 106
нию прямая, пересекающая прямые, определяющие плоскость, находится в
данной плоскости.
Отсюда вытекает, что если плоскость задана следами, то прямая
принадлежит плоскости, если следы прямой находятся на одноименных с ними
следах плоскости (рис. 107).
44
Положим, что пл. (рис. 106) определяется точкой А и прямой ВС.
Согласно второму положению прямая, проведенная через точку А параллельно
прямой ВС, принадлежит
Положим, что пл. (рис. 106) определяется точкой А и прямой ВС.
Согласно второму положению прямая, проведенная через точку А параллельно
прямой ВС, принадлежит пл..у. Отсюда прямая принадлежит плоскости, если она
параллельна одному из следов этой плоскости и имеет с другим следом общую
точку (рис. 108).
Примеры построений на рис. 107 и 108 не должны быть поняты так, что для
построения прямой в плоскости надо предварительно строить следы этой
плоскости. Это не требуется.
Например, на рис. 109 выполнено построение прямой AM в плоскости,
заданной точкой А и прямой, проходящей через точку L. Положим, что прямая AM
должна быть параллельна пл. 1. Построение начато с проведения проекции
А"М" перпендикулярно к линии связи А"А'. По точке М" найдена точка М', и
затем проведена проекция А'М'. Прямая AM отвечает условию: она параллельна
пл. , и лежит в данной плоскости, так как проходит через две точки (А и М),
заведомо принадлежащие этой плоскости.
Как построить на чертеже точку, лежащую в заданной плоскости? Для того
чтобы сделать это, предварительно строят прямую, лежащую в заданной
плоскости, и на этой прямой берут точку.
Рис. 109 Рис. 110
Например, требуется найти фронтальную проекцию точки D, если задана ее
горизонтальная проекция D' и известно, что точка D должна лежать в
плоскости, определяемой треугольником ABC (рис. 110).
Сначала строят горизонтальную проекцию некоторой прямой так, чтобы
точка D могла оказаться на этой прямой, а последняя была бы расположена в
данной плоскости. Для этого проводят прямую через точки А' и ХУ и отмечают
точку М', в которой прямая A'D' пересекает отрезок В'С. Построив фронтальную
.проекцию М" на В"С", получают прямую AM, расположенную в данной плоскости:
эта прямая проходит через точки А и М, из которых первая заведомо
принадлежит данной плоскости, а вторая в ней построена.
Искомая фронтальная проекция D" точки D должна быть на фронтальной
проекции прямой AM.
Другой пример дан на рис. 111, В пл, , заданной параллельными прямыми
АВ и CD, должна находиться точка К, для которой дана лишь горизонтальная
проекция -- точка К'.
45
Через точку К' проведена некоторая прямая, принимаемая в качестве
горизонтальной проекции прямой в данной плоскости. По точкам и F строим Е"
на Л*У и F" на C"D". Построенная прямая EF принадлежит пл. , так как
проходит через точки и F, заведомо принадлежащие плоскости. Если взять
точку К" на E"F", то точка К окажется в пл. .
К числу прямых, занимающих особое положение в плоскости, отнесем
горизонтали, фронтали1) и линии наибольшего наклона к плоскостям
проекций. Линию наибольшего наклона к пл. , будем называть линией ската
плоскости2).
Горизонталями плоскости называются прямые, лежащие в ней и параллельные
горизонтальной плоскости проекций.
Построим горизонталь плоскости, заданной треугольником ABC. Требуется
провести горизонталь через вершину А (рис. 112).
Так как горизонталь плоскости есть прямая, параллельная пл. 1, то
фронтальную проекцию этой прямой получим, проведя А"К" % А"А'. Для
построения горизонтальной проекции этой горизонтали строим .точку К' и
проводим прямую через точки А' и К'.
Построенная прямая АК действительно является горизонталью данной
плоскости: эта прямая, лежит в плоскости, так как проходит через две точки,
заведомо ей принадлежащие, и параллельна плоскости проекций ,.
Теперь рассмотрим построение горизонтали плоскости, заданной следами.
Горизонтальный след плоскости есть одна из ее горизонталей ("нулевая"
горизонталь). Поэтому построение какой-либо из горизонталей плоскости
сводится
Рис. 112 Рис. 113
к проведению в этой плоскости прямой, параллельной горизонтальному
следу плоскости (рис. 108, слева). Горизонтальная проекция горизонтали
параллельна горизонтальному следу плоскости; фронтальная проекция
горизонтали параллельна оси проекций.
Фронталями плоскости называются прямые, лежащие в ней и параллельные
плоскости проекций п2.
Пример построения фронтали в плоскости дан на рис. 113. Построение
выполнено аналогично построеншр горизонтали (см. рис. 112).
Пусть фронталь проходит через точку А (рис. 113). Начинаем построение с
проведения горизонтальной проекции фронтали -- прямой А'К', так как
направление
') Наряду с горизонталями и фронталями плоскости можно рассматривать
также ее профильные прямые-- прямые, лежащие в данной плоскости и
параллельные пл. пэ. Для горизонталей, фронталей и профильных прямых
встречается общее название -- линия уровня. Однако такое название отвечает
обычному представлению только о горизонтальности.