17. Общее ур-е механики.
реакция связи, наз.идеальной для одной матер.точки,есливыполн.ур-е:
(
Принцип Д*аламбера:
При
движ-ииматер.точки
сил
действующих на матер.точку =0
=
-m
Если
ур-е (7.9) скалярно умножим на
,
то (
=0
(7.10), это ур-е наз.общимур-ем механики
для одной матер.точки.
Для сис-мы состоящ.изnматер.точек принцип Д*аламбера будет записан так:
n=1,2…
Если умножим (7.11) скалярно на , а затем проссумируем.то получим:
Если связь идеальна, то это ур-е запиш. В виде:
Общее ур-е механики
18. Решение задачи о движении тела по наклонной плоскости в поле сил тяжести на основании ур-я Лагранжа 1го рода.
m
=
m
=
f(
x=
cos;
h-y=
sihn;
y=ax+b; y=ax+h; b=h
a
;
a=-
ур-ереакциисвязи:
y+tgx-h=0;
f= y+tgx-h;
;=mgco
;
;
;
m
=
;
=-mg+;
y= -xtg+h
(-tg)
=
=
-
=
-g+
;
=
-
;
-
=
-g+
g=
)=
=
;
x=
;
=
-
;
y=
-
;
;
;
y=
21.Вариационный принцип.
Урав. Лагранжа-Эйлера
Пример:
– ф-я
действия.
Где
будет
малая величина . При дальнейших
вычислениях будем ограничиваться 1-м
порядком малости по
.
.
Ф-я действия будет
min,если
Поскольку пределы интегрирования по времени выбраны произвольным образом, то этот интеграл =0,если подинтеграл. выраж. =0. Поскольку отлично от 0, то выраж.в квадратной скобке=0.
Каждой степени
свободы ставиться в соответствие
независящая обобщённая координата. В
общем случае обобщ. Корд.мех. сист.
все
rобобщ.
коорд. независимы друг от друга.
Соответственно обобщ. скорости
они также независимы друг от друга.
Ф-я Лагранжа(L) назыв. разность T-U, где T-кинитич. энергия, U-потенц. энерг. системы.
L= T-U
T=T (
,
U=U
(
,
то ф-я Лагранжа
будет ф-я обобщ.коорд. и скоростей.
L=L(
Ур-я Лагранжа-Эйлера.
Ф-яЛагр. Для мех.
сист.с одной степенью свободы будет:
L=T-U=L(q,
Для получения ур-я движ. мех.сист. 1-й степени свободы воспользуемся принципом наименьшего действия (вариационный принцип).
(поскольку
операция варьирования и дефференц.по
времени, а следоват.иинтегриров. по
времени перестановочные операции, то
операц. варьирования поднесём под
,
тогда)=
Ур-я Лагранжа-Эйлера, движущ-ся точки в центрально симметр.поле:
23.Уравнение
Лагранжа -Эйлера для системы с многими
степенями свободы.
Пусть
мех.сис-маопр-сякоор-ми q1,q2..qr,где
r-число
степеней свободы {qα},α=1,2..r.Обоб.
скорости {
.Тогда
ф.Лагранжа для мех. сис. с r
степ. свободы L=L{qα,
С помощью прин-ципа наименьшего принципа
найдём уравнение движения S=
δS=0
δS=
=
+
=
Δqαdt=0 В рез.пол.
22.На основании ур-я Лагранжа-Эйлера получить ур-я колебаний метем.Маятника и колеб. Точки под упругой силы.
Ур-е связи.
Ур-е Лагранжа
Лагранжев формализм:
24.Обобщенные
координаты, скорости и импульса.
Циклические координаты. Законы сохранения
обобщенных импульсов.
В
формализме Лагранжа обоб.имп. мех. сис.
Пα=
Опр. Цикл.коор-т
Обоб.коор-ты qβназ.цикл.,если ф-ия Лагранжа явно не зависит от этих корт,т.е
,тогда
каждой цикл.коор-те соот-ет сохр-ся
обоб.импульс
(вып.закон
сохр.обоб.импульсов)
25.0писание
движения материальной точки в
потенциальном сферическисимметричном
поле в полярных координатах в формализме
Лагранжа.
L=
-U(r)В
данном случае мат.точка имеет 2
степ.свободы,этим степ. Свободы соот.
2 обоб.коор-ты r,
и 2 обоб. скорости
=>
движ.мат.точки будет опр-ся 2 обоб. имп.
Пr=
Пφ=
Ф. Лагранжа не зав. от φ
Пφ=
-момент
импулься точки дви-ся в пл.орбиты.
26.
Функция Гамильтона. Привести примеры
на определение функции Гамильтона.
Пα=
-обоб.импульс.
Опр-м энергию мех.сис-мы.Если мех.сис-ма
опр-ся ур-ем Лагранжа,кот.я вно не зав.
от времени,то говорят,что мех
сис.стационарна,а если явно зав.то не
стационарна,т.е.
R(qα,
α,t)
=
+
=
+
(
+
=
+ α
α- L(qα, α,t)]=- Из ур.следует,что если мех.сис-ма стац-на,то
и
вел. H(qα,
=
α-L
явл. Сохр-ся вел.т.е явл. Инте-ом движения.
И это есть ф.Гамильтона
Физ.смысл:
Расс.движ. точки в центр-ом поле
L=T-U=
x,y,z-обоб.коор-ты
L(x,y,z+
явно
от времени не зав.
H=Пх
+Пу
+Пz
-
или H=
+
U(r)Пример:Движ.мат.
точки с сфер.-сим. Поле в полярной СК
L(r,φ,
=
(
-U(r)
Пr=
Пφ= -обоб.импульс
H(r,
φ,
+U(r)=
=H