3. Теорема Гаусса.

Понятие потока вектора является одним из важнейших понятий векторного анализа. Оно используется при формулировке важнейших свойств электрического, магнитного и других векторных полей. Первоначально это понятие было введено в гидродинамике. Возьмем в поле скоростей жидкости малую площадку S, перпендикулярную к вектору скорости жидкости v (рис. 5). Объем жидкости, протекающий через эту площадку за время dt, равен vSdt. Если площадка наклонена к потоку, то соответствующий объем будет vScosαdt, где α – угол между вектором скорости v и нормалью n к площадке S. Объем жидкости, протекающий через площадку S в единицу времени, получится делением этого выражения на dt. Он равен vScosα, т.е. скалярному произведению (vS) вектора скорости v на вектор площадки S=Sn. Единичный вектор n нормали к площадке S можно провести в двух прямо противоположных направлениях. Одно из них условно принимается за положительное. В этом направлении и проводится нормаль n. Та сторона площадки, из которой исходит нормаль, называется внешней, а та, в которую нормаль входит, - внутренней. Если поверхность S не бесконечно мала, то при вычислении объема протекающей жидкости ее надо разбить на бесконечно малые площадки dS, а затем вычислить интеграл по всей поверхности S.

Рис. 5.

Выражения типа или встречаются в самых разнообразных вопросах физики и математики. Эти выражения имеют смысл независимо от конкретной физической природы вектора v. Они называются потоком вектора v через бесконечно малую площадку dS или конечную поверхности S соответственно. Так, интеграл называют потоком вектора напряженности электрического поля, хотя с этим понятием и не связано никакое реальное течение. Запишем без доказательства теорему Остроградского – Гаусса:

поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме всех зарядов, окруженных этой поверхностью:

.

Теорема Остроградского – Гаусса применяется, наряду с принципом суперпозиции полей, для расчета электрических полей в вакууме. Использование теоремы Остроградского – Гаусса особенно удобно в случае полей, которые обладают заранее известной симметрией, обусловленной симметрией в конфигурации зарядов – источников рассматриваемого поля.

Пример 1. Поле точечного заряда.

Пример 2. Поле бесконечной прямой заряженной нити.

4. Потенциал электрического поля.

Н еподвижный точечный заряд Q возбуждает в вакууме электрическое поле . Пусть в этом поле перемещается другой точечный заряд q, переходя из начального положения 1 в конечное положение 2 вдоль произвольной кривой 12 (рис. 6):

Работа, совершаемая силами поля при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2, выражается криволинейным интегралом

. (4)

Таким образом, при любом выборе начальной и конечной точек 1 и 2 работа А₁₂ не зависит от формы пути, а определяется только положениями этих точек.

Силовые поля, удовлетворяющие такому условию, называют потенциальными, или консервативными, следовательно, электростатическое поле точечного заряда есть поле потенциальное.

Работа сил потенциального поля может быть представлена как убыль потенциальной энергии:

А₁₂=W_р1 – W_р2. (5)

Сопоставление формул (4) и (5) приводит к следующему выражению для потенциальной энергии заряда q в поле заряда Q:

.

Значение константы в выражении потенциальной энергии обычно выбирается таким образом, чтобы при удалении заряда на бесконечность (т.е. при r=∞) потенциальная энергия обращалась в нуль. При этом условии получается, что

. (6)

Воспользуемся зарядом q в качестве пробного заряда для исследования поля. Согласно (6) потенциальная энергия, которой обладает пробный заряд, зависит не только от его величины q, но и от величин Q и r, определяющих поле. Следовательно, эта энергия может быть использована для описания поля, подобно тому, как была использована для этой цели сила, действующая на пробный заряд.

Разные пробные заряды q, q’ и т.д. будут обладать в одной и той же точке поля различной энергией W_p, W’_p и т.д. Однако отношение W_р/q будет для всех зарядов одним и тем же. Величина

(7)

называется потенциалом поля в данной точке и используется, наряду с напряженностью поля, для описания электрических полей. Подставив в (7) значение потенциальной энергии (6), получим для потенциала точечного заряда следующее выражение:

.

Сопоставив выражение для потенциала точечного заряда с формулой (4), видим, что работа сил поля над зарядом q может быть выражена через разность потенциалов:

А₁₂=W_p1-W_p2=q(φ₁ –φ₂).

Таким образом, работа, совершаемая над зарядом силами поля, равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках (т.е. на убыль потенциала).

Если заряд q из точки с потенциалом φ удаляют на бесконечность (где по условию потенциал равен нулю), то работа сил поля будет равна

А_∞=qφ.

Отсюда следует, что потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки на бесконечность. Такую же по величине работу нужно совершить против сил электрического поля для того, чтобы переместить единичный положительный заряд из бесконечности в данную точку поля.

В СИ за единицу потенциала, называемую вольтом (В), принимается потенциал в такой точке, для перемещения в которую из бесконечности заряда, равного 1 кулону, нужно совершить работу в один джоуль:

.

Электрическое поле характеризуется двумя физическими величинами: напряженностью (силовая характеристика) и потенциалом (энергетическая характеристика); выясним, как они связаны между собою.

Пусть 1 и 2 – бесконечно близкие точки, расположенные на оси Х, так что х₂-х₁=dx. Работа при перемещении единицы заряда из точки 1 в точку 2 будет Е_хdx. Та же работа равна φ₁-φ₂=-dφ. Приравнивая оба выражения, получим dφ=-E_xdx. Аналогичное рассуждение применимо для осей Y и Z. В результате получаются три соотношения:

Их можно объединить в одну векторную формулу:

(8)

Так как Е есть вектор, то и выражение, стоящее в скобках, есть также вектор. Он называется градиентом скаляра φ и обозначается grad φ, или φ. Его можно рассматривать как произведение символического вектора или оператора на скаляр φ. Таким образом, по определению

(9)

Теперь формулу (8) можно записать короче, а именно:

Е= -grad φ= - φ.

Для выяснения геометрического смысла градиента введем понятие эквипотенциальных поверхностей, или поверхностей равного потенциала. Как показывает само название, эквипотенциальная поверхность есть такая поверхность, на которой потенциал остается постоянным. Он может изменяться только при переходе от одной эквипотенциальной поверхности к другой. Возьмем на эквипотенциальной поверхности произвольную точку О и введем локальную систему координат с началом в этой точке (рис. 7). Ось Z направим по нормали n к эквипотенциальной поверхности в сторону возрастания потенциала φ. То же направление примем за положительное направление нормали n. Координатная плоскость XY, очевидно, совместится с касательной плоскостью к эквипотенциальной поверхности. Тогда в точке О . Кроме того, k=n, . Формула (9) переходит в

Функция φ возрастает наиболее быстро в направлении нормали. Поэтому можно дать следующее определение. Градиент функции φ(x,y,z) есть вектор, направленный в сторону максимального возрастания этой функции, а его длина равна производной функции φ в том же направлении. Преимущество этого определения состоит в том, что оно носит инвариантный характер, т.е. никак не связано с выбором какой бы то ни было системы координат.

Вектор Е направлен противоположно вектору градиента потенциала φ. Электрические силовые линии являются, таким образом, линиями, вдоль которых потенциал изменяется наиболее быстро. Они нормальны к эквипотенциальным поверхностям. Эквипотенциальные поверхности могут служить поэтому для наглядного изображения картины поля. Обычно их чертят так, что при переходе от одной эквипотенциальной поверхности к соседней потенциал получает одно и то же приращение Δφ. Чем меньше выбрано Δφ, тем детальнее будет представлено распределение потенциала в пространстве, а с ним и картина электростатического поля. Для большей наглядности чертят также силовые линии, ортогональные к семейству поверхностей равного потенциала.