6. Линейные уравнения 1-ого порядка.

― линейное уравнение ― уравнение такого вида

― коэффициент уравнения

― правая часть, (неоднородность уравнения), свободный член.

― ?

. ― линейный оператор, т.е.

.

(функции образуют линейное пространство)

однородное

неоднородное.

Свойства линейных уравнений ― из линейной алгебры:

Общее решение неоднородного линейного уравнения ― сумма общего решения однородного линейного уравнения и некоторого частного решения неоднородного .

Сумма частных решений однородного линейного уравнения ― решение однородного линейного уравнения.

Однородное линейное уравнение , ,

( ― некая константа , )

Т.к. , то . Обозначим .

― общее решение однородного линейного уравнения

Неоднородное линейное уравнение . Для решения неоднородного линейного уравнения существуют разные методы (читать учебники).

Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной):

нужно подобрать.

.

Нужно еще обосновать, что других решений нет

При слагаемое №1 ― частное решение неоднородного дифференциального уравнения, а слагаемое с №2 ― общее решение однородного линейного уравнения.

По свойству 1(!) ― общее решение неоднородного линейного уравнения (т.е. других нет).

7. Уравнение Бернулли и Риккати.

Уравнения, сводящиеся к линейным:

― уравнение Бернулли

Если , то линейное неоднородное, , то линейное однородное .

Далее .

. Делим уравнение Бернулли на :

.

― уже линейное уравнение

― линейное уравнение относительно .

― уравнение Риккати

Можно свести к уравнению Бернулли, если известно некоторое частное решение .

― уравнение Бернулли

Не существует общего метода нахождения частного решения уравнения Риккати , поэтому в общем случае уравнение Риккати не решается в квадратурах.

Частный случай уравнения Риккати:

.

.

При нужно искать другие частные решения.

При выбираем 1 частное решение.

8. Уравнения в полных дифференциалах.

―предположим, что эти функции определены и непрерывно дифференцируемы в некоторой односвязной области (нет дырок)

Определение: Уравнение называется уравнением полных дифференциалов, если такая, что .

Уравнение можно записать в виде: ―решение .

Теорема: Для того чтобы , для того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы

Из этих рассуждений видно, что решение задачи с уравнением полных дифференциалов сводится к нахождению .

Пример:

Проверим, что уравнение ― полный дифференциал.

― верно.

;

.

[ , но она включена в ].

Ответ: .

9. Интегрирующий множитель

Определение: Интегрирующим множителем для уравнения назовем , после умножения на которую уравнение становится полным дифференциалом.

Общего метода для нахождения интегрируемого множителя нет. Существуют различные методы:

1)

― тогда ― интегрирующий множитель.

,

Мы доказали справедливость формулы для интегрирующего множителя для конкретного случая.

2) ,

Под интегралом понимается конкретная первообразная.

3)

? ?(*)―см. курс матана, сем.№2, КРИ-2.

(*)―часть теоремы о независимости КРИ-2 от пути интегрирования, а ―подынтегральное выражение для КРИ-2 (правда, в нем должны конкретные пределы).

Если ―полный дифференциал, то КРИ-2 не зависит от пути интегрирования.

10. Уравнения вида x=f(y’) и y=f(y’)

Если уравнение разрешено относительно , т.е. , то это частный случай .

1) ― неполное уравнение, разрешенное относительно ,

(Т.к. не входит )

Вводим параметры: ― параметрический вид

(Параметр ― вспомогательная независимая переменная)

(можно не писать , но в дифференциальных уравнениях принято)

2) ― неполное уравнение, разрешенное относ.

Ответ:

Пример:

.

Ответ:

11. Уравнения вида x=f(y,y’) и y=f(x,y’)

3) ― уравнение, разрешенное относительно

― уравнение, разрешенное относительно

(может и не решаться)

. Остается решить . Получим ― принято писать

Ответ: ― решение (параметрическое)

4) ― уравнение, разрешенное относительно

,

― разрешенное относительно

Ответ: