22.Метод Лагранжа для линейных уравнений.

I. Метод Лагранжа (метод вариации производных):

1. ф.с.р .

2. Записать и решить следующую систему алгебраических уравнений:

!!В исходном уравнении перед производной высшего порядка должна стоять 1!!, иначе найдется неправильно!

Решаем систему и находим . (т.к. фундаментальная система решений), т.е. решение. (Задача Коши – просто подставляем и находим ). .

3. .

Доказательство:

Надо показать, что частное решение (1).

Т.к. первое уравнение системы, а удовлетворяет системе

Т.к. второе уравнение системы

23.Метод неопределенных коэффициентов для линейных уравнений.

.

Применяется для любых .

1. ; , если не является корнем соответствующего характеристического уравнения, иначе равно кратности .Сначала не определены. После подстановки в исходное уравнение они находятся. Известно, что всегда найдется и притом единственным образом.

Пример:

сразу в ответе.

Тогда

Ответ: .

2)

.

, если ― не корни соответствующего характеристического уравнения, равно кратности этих корней. Сначала ― неизвестные. Находятся подстановкой в исходное уравнение.

24.Уравнения Эйлера.

Т.е. ― линейное неоднородное уравнение с особыми .

― важен интервал. Тогда можно разделить на .

Однородное уравнение Эйлера:

Определение: Определяющее уравнение для однородного уравнения

Эйлера ― следующее:

― многочлен степени относительно .

линейного однородного уравнения надо знать фундаментальную систему решений.

Теорема: Для того, чтобы найти фундаментальную систему решений , надо найти корни соответствующего уравнения вместе с их кратностями. Далее каждому корню следует сопоставить функции: , где ― кратность .

Каждой паре комплексных сопряженных корней уравнения следует сопоставить функции

где ― кратность корней .

Фундаментальную систему решений образуют функции, сопоставленные указанным образом всем корням и всем парам корней .

25.Линейные однородные системы.

― коэффициенты системы определены и

― свободные члены системы непрерывны на .

Если , то система однородна, иначе ― неоднородна.

дифференцирование матрицы ― поэлементно.

― матрица системы

.

Тогда

Если , то однородная.

― однородная.

― неоднородная.

Начальные условия:

.

Свойство: решение задачи Коши. .

Определение: 1. ― линейно зависимы на , если , не все равные нулю, что .

Если лишь при всех , то линейно независимы.

2. Определитель Вронского(вронскиан) для

3. Фундаментальная система решений ― совокупность линейно независимы вектор-столбцов, являющихся решением .

4. Фундаментальная матрица ― матрица, столбцы которой образуют фундаментальную систему решений . Обозначается .

Теоремы:

1. Пусть линейно зависимы. Тогда .

2. ― решения и линейно независимы.

3. ―решения . Тогда справедливо ровно одно из следующих утверждений:

а.

б.

4. системы фундаментальная система решений.

5. Формула общего решения имеет вид:

, где

― фундаментальная система решений.