26.Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами.

,

― фундаментальная система решений системы ( ― вектор !)

― общее решение .

Формулы для фундаментальной системы решений разные в зависимости от :

1. Собственные значения . Можно указать три линейно независимых собственных вектора матрицы . Тогда ― собственные значения , соответствующие ( не обязательно различны)

2. Собственные значения . Можно указать три линейно независимых вектора

― собственные векторы , ― присоединенный вектор к собственному вектору . Тогда . , где ― собственные значения, отвечающие соответствующим и .

3. Собственные значения . Можно указать три линейно независимых вектора .

― собственный вектор , ― соответственно 1,2 присоединенные векторы к . Тогда .

― собственное значение, соответствующее .

4. Пусть у существует одно собственное значение , два комплексно сопряженных собственных значения .

― какой-либо собственный вектор, отвечающий .

― какой-либо собственный вектор, отвечающий .

Тогда . Для реализуется ровно 1 из 4 случаев.

27. Метод Лагранжа для линейных систем.

Метод Лагранжа. Сначала надо узнать фундаментальную систему решений соответствующей

( знаем соответствующую ).

Тогда . Надо найти .

Для матриц и .

Пусть ― фундаментальная система решений ( состоит из них).

― равенства столбцов.

Возьмем левые части равенств, сформируем из них матрицу. Получим . Сформируем матрицу из правых столбцов. вынесем за знак матрицы. Справа будет .

.

Тогда

У фундаментальной матрицы всегда существует (т.к. , а для фундаментальной системы решений (по т.3, а фундаментальная система решений ― линейно независима), т.е. существует ).

Домножим слева на .

.

Осталось обосновать, что ― все решения.

29.Задачи Коши и краевые задачи для линейных уравнений и систем.

― коэффициенты системы определены и

― свободные члены системы непрерывны на .

Если , то система однородна, иначе ― неоднородна.

дифференцирование матрицы ― поэлементно.

― матрица системы

.

Тогда

Если , то однородная.

― однородная.

― неоднородная.

Начальные условия:

.

Свойство: решение задачи Коши. .

31.Устойчивость решений. Система первого приближения. Критерий Рауса-Гурвица.

Задано начальное условие – . .

Пусть некоторое фиксированное решение (1).

Определение: Решение системы называется устойчивым (в смысле Ляпунова), если , где расстояние в -мерном пространстве. В противном случае решение называется неустойчивым.

Определение: Решение системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и, кроме того,

, где

Смысл устойчивости: если чуть-чуть меняем начальные условия, то решение тоже мало меняется.

. Поэтому сразу будем считать, что (1) имеет нулевое решение . (Если нет, всегда можно сделать замену на , которое имеет нулевое решение ).

Определение: Системой 1-го приближения для системы (1) называется следующая система:

Теорема: Если все собственные значения имеют отрицательные действительные части, то нулевое решение (1) устойчиво, и притом асимптотично. Если хоть одно собственное значение имеет положительную действительную часть, то нулевое решение (1) неустойчиво. Если все действительные части нулевые, то ничего не утверждается. (Без доказательства)

– многочлен такого вида возникает при нахождении собственных значений .

Определение: Матрица Грувица многочлена (3) – следующая матрица:

где – константы (3); если .

Критерий Раусса-Гурвица:

Для того, чтобы все корни (3) имели отрицательную действительную часть, необходимо и достаточно, чтобы были положительными все главные миноры соответствующей матрицы Гурвица. (без доказательства).