34.Задачи вариационного исчисления и понятие о способах их решения.

Вариацио́нное исчисле́ние — это раздел функционального анализа, в котором изучаются вариации функционалов. Самая типичная задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы найти функцию, на которой функционал достигает экстремального значения. Методы вариационного исчисления широко применяются в различных областях математики, в дифференциальной геометрии с их помощью ищут геодезические и минимальные поверхности. В физике вариационный метод — одно из мощнейших орудий получения уравнений движения (см. например Принцип наименьшего действия), как для дискретных, так и для распределённых систем, в том числе и для физических полей. Методы вариационного исчисления применимы и в статике (см. Вариационные принципы).

Важнейшими понятиями вариационного исчисления являются следующие:

вариация (первая вариация),

вариационная производная (первая вариационная производная),

кроме первой вариации и первой вариационной производной, рассматриваются и вариации и вариационные производные второго и высших порядков.

Никак не связана с вариационным вычислением совпадающая по названию вариация функции в анализе.

Термин варьирование (варьировать) — применяется в вариационном исчислении для обозначения нахождения вариации или вариационной производной (это аналог термина дифференцирование для случая бесконечномерного аргумента, являющегося предметом вариационного исчисления). Также нередко для краткости (особенно в приложениях) термин варьирование применяется для обозначения решения вариационной задачи, сводимой к нахождению вариационной производной и приравнивания её нулю.

Вариационная задача означает, как правило, нахождение функции (в рамках вариационного исчисления — уравнения на функцию), удовлетворяющей условию стационарности некоторого заданного функционала, то есть такой функции, (бесконечно малые) возмущения которой не вызывают изменения функционала по крайней мере в первом порядке малости. Также вариационной задачей называют тесно связанную с этим задачу нахождения функции (уравнения на функцию), на которой данный функционал достигает локального экстремума (во многом эта задача сводится к первой, иногда практически полностью). Обычно при таком употреблении терминов подразумевается, что задача решается методами вариационного исчисления.

Типичными примерами вариационной задачи являются изопериметрические задачи в геометрии и механике; в физике — задача нахождения уравнений поля из заданного вида действия для этого поля.

Аналогом дифференциала (первого дифференциала) является в вариационном исчислении вариация (первая вариация):

δΦ = Φ[f + δf] − Φ[f]

(как и в случае дифференциала имеется в виду линейная часть этого приращения, а выражаясь традиционным образом — δf выбирается бесконечно малой, и при вычислении разности отбрасываются бесконечно малые высших порядков). При этом δf — играющее роль дифференциала или малого приращения независимой переменной — называется вариацией f.

Вариационная производная

Для интегральных функционалов, которые являются очень важным для математики и приложений случаем, можно ввести не только аналог дифференциала и производную по направлению, но и производную Фреше — аналог конечномерного (градиента), называемую вариационной производной.

То есть, в полной аналогии с конечномерным случаем, когда

,

где — обозначение градиента (или производной Фреше) функции y, а — скалярное произведение; — оператор частной производной по i-той координате, сумма представляет собой полный дифференциал.

Для функционала имеем

,

где — обозначение вариационной производной Φ, а суммирование конечномерной формулы естественно заменено интегрированием.

Итак,

— стандартное обозначение вариационной производной.