- •Обыкновенные дифференциальные уравнения.
- •Глава 1. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка.
- •1. Введение.
- •2. Понятие о линейной независимости функций.
- •3. Необходимое условие линейной зависимости n функций.
- •4. Формула Остроградского - Лиувилля.
- •5. Фундаментальная система решений (фср).
- •6. Построение общего решения.
- •7. Построение однородного линейного уравнения, имеющего заданную фср.
- •8. Понижение порядка однородного линейного уравнения.
- •9. Линейное неоднородное уравнение n-ого порядка.
- •10. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
- •11. Метод Коши.
- •12. Линейные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •13.Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом неопределённых коэффициентов.
- •14. Приведение однородного линейного уравнения n-го порядка к уравнению с постоянными коэффициентами при помощи замены независимой переменной.
- •15. Линейное уравнение Эйлера.
- •16. Приведение линейного уравнения 2-го порядка к уравнению, не содержащему члена с первой производной.
- •17. Построение общего решения однородного линейного уравнения второго порядка в случае, когда известно одно частное решение.
- •18. Интегрирование при помощи степенных и обобщённых степенных рядов.
- •19. Первоначальные сведения о граничной задаче.
- •Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений.
- •20. Свойства решений однородной системы.
- •21. Формула Остроградского – Лиувилля.
- •22. Фундаментальная система решений.
- •23. Построение общего решения.
- •24. Построение однородной линейной системы линейных уравнений, имеющей заданную фср.
- •25. Общее решение неоднородной системы.
- •26. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
- •Глава 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •27. Теорема Пикара:
- •28. Теорема Пикара для нормальной системы n уравнений.
- •29. Теорема о непрерывной зависимости решения от начальных данных и от параметров.
- •30. Теория устойчивости.
- •31. Простейшие типы точек покоя.
- •32. Второй метод Лагранжа.
- •33. Линейные интегральные уравнения.
- •34. Задачи, приводящиеся к интегральным.
- •35. Принцип сжатых изображений.
- •36. Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром.
- •37. Теорема Фредгольма для уравнения (1).
- •38. Вариационное исчисление. Метод вариации в задачах с неподвижными границами.
- •39. Вариация и её свойства.
- •40. Основная лемма вариационного исчисления.
- •41. Уравнение Эйлера.
Глава 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
, (1), где - постоянные вещественные числа, - непрерывны в интервале (a,b).
Так как общее решение неоднородной системы связано с построением общего решения соответствующей однородной системы, то, естественно, сначала рассмотрим однородную систему , (2).
Фундаментальная система решений, из ранее доказанного, существует в интервале .
Для системы (2) всегда можно построить ФСР из элементарных целых функций.
Решение системы (2) будем искать в виде , (3).
Подставляя (3) в (2), получаем , .
Сокращая на , имеем линейную однородную систему относительно , .
(4).
Нетривиальное решение система (4) имеет, когда определитель её равен нулю, т.е. (5).
Уравнение (5) называется характеристическим уравнением системы (2), а корни его называются характеристическими числами. представляет собой многочлен степени n относительно λ.
Случай 1. Все корни характеристического многочлена - действительные и различные, т.е. .
Покажем, что в этом случае ранг матрицы
равен n-1.
Рассмотрим:
где - алгебраические дополнения элемента определителя .
Следовательно, хоть один из определителей (n-1)-го порядка отличен от нуля.
Система (4) имеет ненулевое решение, которое определяется с точностью до множителя. Таким образом, получим n решений системы (2).
(6) - ФСР системы (2).
Поэтому, в силу основной теоремы, общее решение системы (2) в области , имеет вид:
(7).
Пример.
(8).
Подставляя в систему (4), получаем:
.
Аналогично находим при :
.
.
(9) – общее решение системы (8).
Случай 2. Все корни различны, но среди них имеются комплексные.
a + ib u a – ib - простые корни характеристического уравнения. Корню a + ib, согласно формуле (3), соответствует решение
- комплексные числа. Поэтому y1,..., yn – комплексное решение.
Отделяя в нём вещественную и мнимую части, получим два вещественных решения. Сопряжённый корень a – ib не порождает новых вещественных решений.
Итак, паре комплексно сопряжённых корней соответствует два вещественных линейно независимых решения.
Пример. (10)
(11) – общее решение данной системы.
Случай 3. Среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни.
Как построить в этом случае ФСР для системы (2) даёт ответ следующая теорема.
Теорема.
Если есть характеристическое число кратности k, то ему соответствует решение вида , где P1(x), P2(x),..., Pn(x) – полиномы от х степени, не превышающей k-1, имеющие в совокупности k произвольных коэффициентов. Полиномы могут вырождаться в постоянные числа. В таком случае k-кратному характеристическому числу будет соответствовать решение вида . Но среди коэффициентов k коэффициентов являются произвольными.
Пример.
(12)
λ=-2 - корень кратности два, ему соответствуют решения
(13). Сокращая их на и подставляя в систему (12), получаем:
(14).
Сравнивая в системе (14) коэффициенты при одинаковых степенях, получаем следующие соотношения:
.
Положим : .
Положим : .
Таким образом, (15).
(15) – общее решение системы (12).
ЛЕКЦИЯ 10: