11. Метод Коши.

Укажем ещё один способ построения частного решения уравнения (1).

Пусть {z_i} i=1,2..n – ФСР уравнения L[y]=0 (2)

(3) – общее решение уравнения (2).

Построим решение уравнения (2), удовлетворяющее следующим начальным условиям :

z = 0, z^/ = 0, …, z^{( n-2)} =0, z^{( n-1)} =1 при x = , где a,b, x(a,b).

Это решение (5)

Причём , , …, , ,

где , (6)

Докажем, что функция

, (7)

где  x₀  (a,b).

является частным решением уравнения (1) с нулевыми начальными условиями, т.е. Y = 0, Y^/ = 0, …, Y^{( n-1)} =0, при x = x₀.

Найдём значения производных функции Y(x):

, первое слагаемое = 0,

, первое слагаемое = 0, …… (8)

, первое слагаемое = 0,

и ,

Подставим выражение (8) в уравнение (1):

+……

…+ (9)

или

,

Получим тождество для  x, x₀ a,b

Итак, , x a,b

(7) –называется формулой Коши для неодноролного уравнения.

Очевидно, что Y(x₀) = 0, Y^/ (x₀)= 0, …, Y^{( n-1)} (x₀)=0.

Таким образом .

Пример:

– общее решение однородного уравнения.

Найдём  (x,)

z=0, z^/=1 при x = .



– oбщeе решение неоднородного уравнения.

ЛЕКЦИЯ 4:

12. Линейные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

, (1)

a₁, a₂, …, a_n – постоянные вещевтвенные числа, непрерывная в интервале (a,b).

Рассмотрим сначала соответствующие уравнению (1) уравнение (2),

(2)

Будем искать уравнение (2), следуя Эйлеру, в виде

(3),

(4)

Подставляя (4) в уравнение (2), получим

или (4)

Таким образом получаем

(5)

– называется характеристическим многочленом или характеристическим уравнением.

Случай 1:

Все корни характеристического многочлена ₁, ₂, …, _n различны и вещественны.

Каждому корню _i соответствует частное решение

(i=1..n)

– линейно независимая система функций, т.е. ФСР.

(6) – общее решение уравнения .

Пример:

,

,

– общее решение данного уравнения.

Случай 2:

Среди корней характеристического уравнения есть комплексный корень

Пусть , тогда ,

₃, ₄, …, _n – различные и вещественные корни.

(формула Эйлера)

– комплексная функция действительной переменной. Тогда –

, – также

являются решениями уравнения.

Очевидно, что сопряжённый корень не порождает новых решений.

Таким образом, ФСР в данном случае

, ,

и общее решение имеет вид:

Пример:

,

– характеристическое уравнение,

,

, ,

– общее решение.

Случай 3:

Среди корней характеристического уравнения есть кратный действительный корень.

Пусть – корень кратности k.

P(λ₁) = 0, P^/ (λ₁)= 0, …, P^{( k-1)} (λ₁)=0, P^{( k)} (λ₁)≠0.

Запишем полученное ранее выражение (4) и продифференцируем его по λ m раз, используя для правой части формулу Ньютона-Лейбница, а для левой свойства оператора L.

. (9)

(10)

Подставим в уравнение (10) λ = λ₁ и используем, что

P(λ₁) = 0, P^/ (λ₁)= 0, …, P^{( k-1)} (λ₁)=0.

Получим, что

– решение уравнения (10) при m = 0, 1,…, (k-1).

, ,…, , ,… – ФСР.

(11)

(11) – общее решение уравнения (2).

Пример:

,

– характеристическое уравнение,

, , ,

– общее решение.

Случай 4:

Характеристическое уравнение имеет комплексный корень кратности k. Тогда оно имеет и сопряжённый комплексный корень. Таким образом, для построения ФСР нужно 2k линейно независимых решений, соответствующих этим кратным сопряжённым комплексным корням.

Отделяя вещественные и мнимые части комплексных решений

, , … , , получим

, , … ,

(12)

, , … , .

Таким образом, каждой паре сопряжённых комплексных чисел кратности k соответствует 2k линейно независимых решений вида (12).

И общее решение имеет вид:

(13)

Пример:

, – комплексные решения.

Отделяя вещественные и мнимые части комплексных решений, получим:

– ФСР

– общее решение данного уравнения.