27. Теорема Пикара:

Если в уравнении , при (1)

1. определена и непрерывна в области и, следовательно, ограничена в области , т.е. .

2. Удовлетворяет в области условию Липшица по :

, (2)

, то существует единственное решение , удовлетворяющее условию , а в промежутке , где и решение это определено и непрерывно дифференцируемо для из отрезка и не выходит за пределы области при этих значениях .

Поясним некоторые условия теоремы

Пикара.

1.

2. На практике условие Липшица заменяется . Из этого условия следует условие Липшица.

Обратно, из условия Липшица не следует условие .

Примером может служить функция . Производная не принадлежит в .

Доказательство:

Предположим, что существует решение с условием . Тогда (3)

Уравнение (1) и (3) равносильны. Решение (1) является решением (3).

Если найдено решение интегрального уравнения (3), тем самым найдено решение уравнения (1).

Доказывать существование и единственность решения уравнения (1) при заданных условиях будем методом приближений.

За нулевые приближения возьмём ,

(4)

1. Покажем, что все члены функциональной последовательности (4) определены и непрерывны на отрезке и не выходят за пределы области .

определена и непрерывна,

Предположим, что определена и непрерывна на промежутках , .

даже дифференцируемая функция (интеграл с верхним переменным пределом).

Таким образом, все члены последовательности (4) определены и непрерывны в промежутках и не выходят при этих значениях за пределы области .

2. Докажем равномерную сходимость функциональной последовательности (4) в промежутке .

Вместо (4) будем рассматривать функциональный ряд:

(5)

Сходимость последовательности (4) равносильна сходимости ряда (5), так как частные суммы ряда (5) являются .

Оценим разность {применяем условие Липшица} ,

Учитывая .

Аналогично

И так далее.

(6)

Предполагая, что это утверждение верно для доказывается (6).

Члены ряда для всех значений из промежутка не превосходят по абсолютной величине соответствующих членов следующего ряда с положительными членами:

(7)

Ряд (7) сходится. Сумма этого ряда равна (8)

Согласно признаку Ваейрштрасса ряд (5) сходится равномерно в промежутке .

Пусть сумма ряда (5) или предельная функция последовательности (4).

Тогда по теореме непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда функция также непрерывна в промежутке .

3. Покажем, что функция является решение интегрального уравнения (3) и её значения не выходят за пределы области при .

Так как , то переходя к пределу при получим:

.

В формуле (4) перейдём к пределу при :

Докажем, что

для из промежутка

Итак,

4. Докажем, что получено решение единственное.

Предположим, что существует ещё одно решение , удовлетворяющее тем же начальным условиям, которое определено и непрерывно в промежутке и не выходит при этих значениях за пределы области .

Итак,

Оценим

,

и т.д.

(9)

Устремляем в формуле (9):

Откуда .

Замечание:

1. Формула (9) даёт оценку погрешности нашего приближения к решению .

2. Формула (8) даёт оценку решения .

3. За нулевое приближение не обязательно брать . Можно брать любую непрерывно дифференцируемую функцию, значения которой не выходят за пределы области .

Пример:

, ,

.

ЛЕКЦИЯ 11: