- •Обыкновенные дифференциальные уравнения.
- •Глава 1. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка.
- •1. Введение.
- •2. Понятие о линейной независимости функций.
- •3. Необходимое условие линейной зависимости n функций.
- •4. Формула Остроградского - Лиувилля.
- •5. Фундаментальная система решений (фср).
- •6. Построение общего решения.
- •7. Построение однородного линейного уравнения, имеющего заданную фср.
- •8. Понижение порядка однородного линейного уравнения.
- •9. Линейное неоднородное уравнение n-ого порядка.
- •10. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
- •11. Метод Коши.
- •12. Линейные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •13.Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом неопределённых коэффициентов.
- •14. Приведение однородного линейного уравнения n-го порядка к уравнению с постоянными коэффициентами при помощи замены независимой переменной.
- •15. Линейное уравнение Эйлера.
- •16. Приведение линейного уравнения 2-го порядка к уравнению, не содержащему члена с первой производной.
- •17. Построение общего решения однородного линейного уравнения второго порядка в случае, когда известно одно частное решение.
- •18. Интегрирование при помощи степенных и обобщённых степенных рядов.
- •19. Первоначальные сведения о граничной задаче.
- •Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений.
- •20. Свойства решений однородной системы.
- •21. Формула Остроградского – Лиувилля.
- •22. Фундаментальная система решений.
- •23. Построение общего решения.
- •24. Построение однородной линейной системы линейных уравнений, имеющей заданную фср.
- •25. Общее решение неоднородной системы.
- •26. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
- •Глава 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •27. Теорема Пикара:
- •28. Теорема Пикара для нормальной системы n уравнений.
- •29. Теорема о непрерывной зависимости решения от начальных данных и от параметров.
- •30. Теория устойчивости.
- •31. Простейшие типы точек покоя.
- •32. Второй метод Лагранжа.
- •33. Линейные интегральные уравнения.
- •34. Задачи, приводящиеся к интегральным.
- •35. Принцип сжатых изображений.
- •36. Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром.
- •37. Теорема Фредгольма для уравнения (1).
- •38. Вариационное исчисление. Метод вариации в задачах с неподвижными границами.
- •39. Вариация и её свойства.
- •40. Основная лемма вариационного исчисления.
- •41. Уравнение Эйлера.
19. Первоначальные сведения о граничной задаче.
Решить уравнение (1), здесь , при условии
(2).
Функции a(t), b(t) и f(t) – определены и непрерывны на отрезке .
- постоянные.
Условия (2) называются краевыми или граничными условиями, а сама задача (1),(2) – краевой задачей. Для краевой задачи (1),(2) может иметь место любой из трёх возможных вариантов решений:
Задача имеет единственное решение.
Решение не существует.
Существует бесконечное множество решений.
Пример. , - общее решение.
Рассмотрим следующие три краевые задачи с граничными условиями:
1. .
2. .
3. .
В случае 1. имеем единственное решение ; .
В случае 2. решения нет.
В случае 3. бесконечное число решений .
Рассмотрим два способа решения задачи (1),(2), причём будем предполагать, что решение этой задачи существует и единственно.
Ι. Метод “стрельбы”.
Пусть - частное решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям
(3).
- произвольное число, а y0(t) – решение соответствующего однородного уравнения (4), удовлетворяющее начальным условиям , , - произвольное число.
Тогда при любом с функция (5) - решение уравнения (1), удовлетворяющее первому из условий (2).
Число с выбираем так, чтобы (5) удовлетворяло второму из условий (2).
(6).
, ибо в противном случае краевая задача (1),(2) либо не имеет решения, либо имеет бесконечное множество решений.
При численном решении краевой задачи метод “стрельбы” имеет существенный недостаток. Ошибка вычисления решения x(t): может быть очень большой за счёт слагаемого .
ΙΙ. Решение однородной краевой задачи с помощью функции Грина.
(1),
(7), где .
Будем предполагать, что рассматриваемая краевая задача имеет единственное решение.
Пусть x = x1(t) – ненулевое решение однородного уравнения , удовлетворяющее первому из условий (7), а x2(t) – ненулевое решение, удовлетворяющее второму условию (7). Причём x1(t) и x2(t) линейно независимые решения. Тогда
(8).
Решение уравнения (1) будем искать методом вариации произвольных постоянных.
(9).
Для определения функций и получим следующую систему:
(10).
Решая систему (10), получим (11), где . Интегрируя (11), получим:
, где и - постоянные.
(12).
Продифференцируем (12) по t, получим (13).
Потребуем, чтобы (12) удовлетворяло первому из условий (7), получим =0. Аналогично, подставляя (12) во второе условие (7), получим =0.
Итак, (14) или (15),
где или (16)
построенная функция G(t,s) называется функцией Грина краевой задачи. Сама функция Грина от f(t) не зависит.
Функция Грина обладает следующими свойствами:
при : G(t,s) удовлетворяет однородному уравнению
при t=t0 и t=t1: G(t,s) удовлетворяет соответственно первому и второму граничным условиям
при t=s: G(t,s) – непрерывна
при t=s: производная имеет скачёк, равный 1: │ ─ │ =1.
Свойства 1-3 просто проверяются подстановкой. Докажем свойство 4.
; │ ─ │ = =1.
Построим функцию Грина для краевой задачи .
- общее решение однородного уравнения
- удовлетворяет первому граничному условию.
- удовлетворяет второму граничному условию.