- •Обыкновенные дифференциальные уравнения.
- •Глава 1. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка.
- •1. Введение.
- •2. Понятие о линейной независимости функций.
- •3. Необходимое условие линейной зависимости n функций.
- •4. Формула Остроградского - Лиувилля.
- •5. Фундаментальная система решений (фср).
- •6. Построение общего решения.
- •7. Построение однородного линейного уравнения, имеющего заданную фср.
- •8. Понижение порядка однородного линейного уравнения.
- •9. Линейное неоднородное уравнение n-ого порядка.
- •10. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
- •11. Метод Коши.
- •12. Линейные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •13.Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом неопределённых коэффициентов.
- •14. Приведение однородного линейного уравнения n-го порядка к уравнению с постоянными коэффициентами при помощи замены независимой переменной.
- •15. Линейное уравнение Эйлера.
- •16. Приведение линейного уравнения 2-го порядка к уравнению, не содержащему члена с первой производной.
- •17. Построение общего решения однородного линейного уравнения второго порядка в случае, когда известно одно частное решение.
- •18. Интегрирование при помощи степенных и обобщённых степенных рядов.
- •19. Первоначальные сведения о граничной задаче.
- •Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений.
- •20. Свойства решений однородной системы.
- •21. Формула Остроградского – Лиувилля.
- •22. Фундаментальная система решений.
- •23. Построение общего решения.
- •24. Построение однородной линейной системы линейных уравнений, имеющей заданную фср.
- •25. Общее решение неоднородной системы.
- •26. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
- •Глава 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •27. Теорема Пикара:
- •28. Теорема Пикара для нормальной системы n уравнений.
- •29. Теорема о непрерывной зависимости решения от начальных данных и от параметров.
- •30. Теория устойчивости.
- •31. Простейшие типы точек покоя.
- •32. Второй метод Лагранжа.
- •33. Линейные интегральные уравнения.
- •34. Задачи, приводящиеся к интегральным.
- •35. Принцип сжатых изображений.
- •36. Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром.
- •37. Теорема Фредгольма для уравнения (1).
- •38. Вариационное исчисление. Метод вариации в задачах с неподвижными границами.
- •39. Вариация и её свойства.
- •40. Основная лемма вариационного исчисления.
- •41. Уравнение Эйлера.
Глава 2: Линейные системы дифференциальных уравнений.
ЛЕКЦИЯ 8:
Системы вида , называются линейными.
Будем предполагать, что , и непрерывны в интервале . Согласно теореме Пикара система имеет единственное решение , удовлетворяет начальным условиям при , , произвольные.
Решение определено в интервале
Особых решений линейная система (1) не имеет.
Если , , то система (1) называется однородной , (2)
20. Свойства решений однородной системы.
1. Если однородная система имеет комплексное решение , , (3), то она имеет два вещественных решения и , .
2. Если , решение однородной системы (20, то
, (4) также является решением системы (2), где С – произвольная постоянная.
Пусть имеется решений системы (2):
,
,
… (5)
,
Первый индекс обозначает номер решения, а второй означает номер функции.
Линейная комбинация , (6) также является решением системы (2).
Результат подстановки ого решения в систему (2) имеет вид:
, , (7).
Тогда свойство 3. доказывается следующим образом:
,
учитывая (7), получаем тождество.
Определение:
систем функций
,
,
… (8)
,
называется линейно независимыми в интервале , если не существует чисел не равных одновременно нулю, при которых для всего интервала выполнялось бы соотношение , (9)
Очевидно, что если одна из систем (8) равна нулю в интервале , то эти
системы функций линейно зависимыми в .
Введём в рассмотрение определитель :
(10)
Этот определитель называется определителем Вронского или вронскианом.
Теорема 1:
Если систем функций
,
,
… (11)
,
линейно независимыми в интервале , то .
Так как систем функций (11) линейно независимыми, то справедливо соотношение , , (12), где не все равны нулю.
Система (12) является линейной и однородной относительно и имеет ненулевое решение. Следовательно, определитель системы (12) равен нулю, т.е. .
Теорема 2:
Если систем функций
,
,
… (11)
,
системы (2) линейно независимыми в интервале , то их вронскиан не обращается в нуль ни в одной точке.
Предположим обратное, что существует точка , где .
Составим следующую систему:
…… (13)
определитель системы (13) равен нулю, следовательно, существует ненулевое решение.
, ,…, (14)
Запишем выражение , (15)
(15) является решением системы, кроме этого
, ,…,
На основании теоремы Пикара решение (15) может быть только ненулевым, т.е. , или , т.е. решения системы (2) линейно независимыми в интервале , что противоречит условию теоремы.
Из теорем 1. и 2. следует следующее утверждение:
Для линейной независимыми решений системы (2) в интервале ,необходимо и достаточно, чтобы вронскиан был отличен от нуля хоть в одной точке этого интервала, что подтверждает формула Остроградского –
Лиувилля.
21. Формула Остроградского – Лиувилля.
Для доказательства этой формулы найдем производную от вронскиана(по столбцам)
(17)
Итак, (18) решение (18) в форме Коши
.