Вопрос 19. Случайное событие.

Случа́йное собы́тие — подмножество множества исходов случайного эксперимента; при многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности. Случайное событие, которое никогда не реализуется в результате случайного эксперимента, называется невозможным и обозначается символом . Всегда реализуется - достоверное Ω.

Определение.

Математически случайное событие — подмножество пространства элементарных исходов случайного эксперимента; элемент алгебры , которая в свою очередь задаётся аксиоматически и вместе с пространством элементарных событий Ω и вероятностью образует вероятностное пространство .

Пример. Случайный эксперимент состоит в бросании игральной кости: пример случайного события — выпавшее число чётно; события «Выпала единица», «Выпала двойка» и т. д. — элементарные исходы эксперимента; совокупность всех событий «Выпала 1»..«Выпала 6» — полная группа событий.

Пространство элементарных событий

Если бросается игральная кость, то в результате верхней гранью может оказаться одна из шести граней с количеством точек от одной до шести. Выпадение какой-либо грани в данном случае в теории вероятностей называется элементарным событием  ^[1], то есть

•  — грань с одной точкой;

•  — грань с двумя точками;

• ...

•  — грань с шестью точками.

Множество всех граней   образует пространство элементарных событий  ,

 подмножества которого называются случайными событиями  ^[1]. В случае однократного подбрасывания игровой кости примерами событий являются

• выпадение грани с нечётным количеством точек, то есть событие   — это выпадение грани с одной точкой или грани с тремя точками, или грани с пятью точками). Математически событие   записывается как множество, содержащее элементарные события:  ,   и  . Таким образом,  ;

• выпадение грани с чётным количеством точек, то есть событие   — это выпадение грани с двумя точками или грани с четырьмя точками, или грани с шестью точками. Математически событие   записывается как множество, содержащее элементарные события:  ,   и  . Таким образом,  ;

Вопрос 20. Случайная величина и её статистические данные.

Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.

Формальное математическое определение следующее: пусть   — вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция  , измеримая относительно   и борелевской σ-алгебры на  . Вероятностное поведение отдельной (независимо от других) случайной величины полностью описывается её распределением.

Определение случайной величины

Случайной величиной называется функция  , измеримая относительно   и борелевской σ-алгебры на  ^[4].

Случайную величину можно определить и другим эквивалентным способом^[4]. Функция   называется случайной величиной, если для любых вещественных чисел a и bмножество событий  , таких что  , принадлежит  .

Классификация

Случайные величины могут принимать дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные значения. Соответственно случайные величины классифицируют на дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные (смешанные).

• Пример смешанной случайной величины — время ожидания при переходе через автомобильную дорогу в городе на нерегулируемом перекрёстке.

• В бесконечных схемах (дискретных или непрерывных) уже изначально элементарные исходы удобно описывать количественно. Например, номера градаций типов несчастных случаев при анализе ДТП; время безотказной работы прибора при контроле качества и т. п.

• Числовые значения, описывающие результаты опытов, могут характеризовать не обязательно отдельные элементарные исходы в схеме испытаний, но и соответствовать каким-то более сложным событиям.

Методы описания

Частично задать случайную величину, описав этим все её вероятностные свойства как отдельной случайной величины, можно с помощью функции распределения, плотности вероятности ихарактеристической функции, определяя вероятности возможных её значений. Функция распределения F(x) является вероятностью того, что значения случайной величины меньшевещественного числа x. Из этого определения следует, что вероятность попадания значения случайной величины в интервал [a, b) равна F(b)-F(a). Преимущество использования функции распределения заключается в том, что с её помощью удаётся достичь единообразного математического описания дискретных, непрерывных и дискретно-непрерывных случайных величин. Тем не менее, существуют разные случайные величины, имеющие одинаковые функции распределения.

Если случайная величина дискретная, то полное и однозначное математическое описание её распределения определяется указанием вероятностей p_k = P(ξ = x_k) всех возможных значений этой случайной величины.

Простейшие обобщения

Случайная величина, вообще говоря, может принимать значения в любом измеримом пространстве. Тогда её чаще называют случайным вектором или случайным элементом. Например,

• Измеримая функция   называется n-мерным случайным вектором (относительно борелевской σ-алгебры на  ).

• Измеримая функция   называется n-мерным комплексным случайным вектором (также относительно соответствующей борелевской σ-алгебры).

• Измеримая функция, отображающая вероятностное пространство в пространство подмножеств некоторого (конечного) множества, называется (конечным) случайным множеством.

Вопрос 21.Вероятность случайного события.

Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий.

Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А.

Очевидно, относительная частота и вероятность могут не совпадать.

Замечание. Вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного – равна нулю. Таким образом, значение вероятности любого события – есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Отметим, что вероятность наступления одного из двух попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Вероятность.

Если каждому элементарному событию поставить в соответствие число  , для которого выполняется условие:

,

то считается, что заданы вероятности элементарных событий  . Вероятность события, как счётного подмножества пространства элементарных событий, определяется как сумма вероятностей тех элементарных событий, которые принадлежат этому событию. Требование счётности важно, так как, иначе сумма будет не определена.

 

Пусть, например, в урне находится 10 шаров, из ко­торых 3 красных и 7 синих. Производится опыт, заклю­чающийся в извлечении наугад одного из шаров из урны. Рассмотрим, какие исходы возможны при данном опыте. Для этой цели пронумеруем мысленно красные шары номерами от 1 до 3 и синие—от 1 до 7. В резуль­тате опыта может иметь место один из следующих исхо­дов:

Все эти исходы являются, очевидно, одинаково возможными, так как нет ни каких оснований утверж­дать, что какой-либо из шаров имеет больше данных быть извле­ченным по сравнению с другими.

Кроме того, все исходы являются событиями несов­местимыми, так как появление одного какого-либо шара в данном опыте исключает появление других. На­конец, какой-нибудь из шаров, неважно какого цвета, по условиям опыта обязательно будет вынут.  Иными словами, совокупность всех исходов составляет полную группу событий.

Значение вероятности иногда выражают в процентах.

 

Правило суммы, правило произведения.

Правило суммы. Если некоторые объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В можно выбрать n способами. То выбрать либо А, либо В можно m + n способами.



Правило произведения. Если некоторые объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указном порядке может быть выбрана m ? n способами.

Правила сложения и умножения вероятностей

Правила сложения и умножения вероятностей: если события попарно несовместны, то справедливо равенство

Из правила сложения вероятностей для двух событий вытекает правило нахождения вероятности противоположного события:

Для произвольных событий A и B имеет место формула:

В случае n слагаемых (n>2) эта формула принимает вид:

Вероятность p(В|А) события В при условии наступления события А по определению равна:

Из этого определения следует формула для вычисления вероятности произведения двух событий:

Для вычисления вероятности произведения n событий (n>2) служит общая формула:

События называются независимыми в совокупности, если вероятность любого из них не меняется при наступлении какого угодно числа событий из остальных.

Правило умножения вероятностей для n событий: если события независимы, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей, т.е.

Вычисление вероятности суммы событий можно свести к вычислению вероятности произведения противоположных событий по формуле

В частности, если события независимы, то

Пример 1.

Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, а для второго – 0,6. Стрелки независимо друг от друга сделалают по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один из стрелков?

Решение.

Введем обозначения: событие A – попадание первого стрелка, событие B – попадание второго стрелка, событие С – попадание хотя бы одного из стрелков.

Тогда, очевидно С = А + В, причем события А и В совместны. Следовательно, по формуле (3)

Так как события А и В независимы, то

Наконец, учитывая, что p(A) = 0,8, p(B) = 0,6, получаем:

Правило суммы

Если конечные множества не пересекаются, то число элементов X U Y {или} равно сумме числа элементов множества X и числа элементов множества Y.

То есть, если на первой полке стоит X книг, а на второй Y, то выбрать книгу из первой или второй полки, можно X+Y способами.

Правило произведения

Если элемент X можно выбрать k способами, а элемент Y-m способами, то пару (X,Y) можно выбрать k*m способами.

То есть, если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5*10 = 50 способами.

Пересекающиеся множества

Но бывает, что множества X и Y пересекаются, тогда пользуются формулой, где X и Y – множества, а – область пересечения.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------