Вопрос 22. Среднее значение случайной величины. Мода, медиана.
Математическое
ожидание случайной
величины Х указывает
некоторое среднее значение, около
которого группируются все возможные
значения Х.
Для дискретной случайной величины,
которая может принимать лишь конечное
число возможных значений, математическим
ожиданием называют сумму произведений
всех возможных значений случайной
величины на вероятность этих
значений:
.
Для непрерывной случайной величины Х,
имеющей заданную плотность распределения
φ(x)
математическим ожиданием называется
следующий
интеграл:
.
Здесь предполагается,
что несобственный интеграл 
сходится
абсолютно, т.е. существует.
Свойства математического ожидания:
1. М(С)
= C,
где С = const
2. M(C∙Х)
= С∙М(Х);
3. М(Х ± Y)
= М(Х)
± М(Y),
где X и Y –
любые случайные величины;
4. М(Х∙Y)=М(Х)∙М(Y),
где X и Y –
независимые случайные величины.
Две случайные величины называются независимыми,
если закон распределения одной из них
не зависит от того, какие возможные
значения приняла другая величина.
Мода — значение во множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто. Случайная величина может не иметь моды. Иногда в совокупности встречается более чем одна мода (например: 2, 6, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10; мода = 6 и 9). В этом случае можно сказать, что совокупность мультимодальна. Из структурных средних величин только мода обладает таким уникальным свойством. Как правило мультимодальность указывает на то, что набор данных не подчиняется нормальному распределению.
Мода как средняя величина употребляется чаще для данных, имеющих нечисловую природу. Среди перечисленных цветов автомобилей — белый, черный, синий металлик, белый, синий металлик, белый — мода будет равна белому цвету. При экспертной оценке с её помощью определяют наиболее популярные типы продукта, что учитывается при прогнозе продаж или планировании их производства.
Медиа́на (50-й процентиль, квантиль 0,5) — возможное значение признака, которое делит ранжированную совокупность (вариационный ряд выборки) на две равные части: 50 % «нижних» единиц ряда данных будут иметь значение признака не больше, чем медиана, а «верхние» 50 % — значения признака не меньше, чем медиана.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Вопрос 23.Дисперсия.
Диспе́рсия
случа́йной величины́ —
мера разброса данной случайной
величины,
то есть её отклонения от математического
ожидания.
Обозначается D[X] в
русской литературе и 
(англ. variance)
в зарубежной. В статистике часто
употребляется обозначение 
или 
.
Квадратный корень из дисперсии, равный 
,
называется среднеквадрати́чным
отклоне́нием,
станда́ртным
отклоне́нием или
стандартным разбросом. Стандартное
отклонение измеряется в тех же единицах,
что и сама случайная величина, а дисперсия
измеряется в квадратах этой единицы
измерения.
Из неравенства Чебышёва следует, что случайная величина удаляется от её математического ожидания на более чем k стандартных отклонений с вероятностью менее 1/k². Так, например, как минимум в 75 % случаев случайная величина удалена от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 89 % — не более чем на три.
Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:
Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: D[a] = 0. Верно и обратное: если D[X] = 0, то X = M[X] почти всюду;
Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
,
где
—
их ковариация;
Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:
,
где
;
В частности, D[X1 + ... + Xn] = D[X1] + ... + D[Xn] для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю;
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------