4)Вычисление кри-1 с помощью определенного интеграла.
Теорема Пусть кусочно-гладкая кравая L задана параметр. L={(x,y,z):х=x(t), y=y(t), z=z(t), t [α,β]}, тогда существует КРИ-1 и вычисляется по формуле:
=
dt,
L
при условии
существования определённого итнеграла.
5. Криволинейные интегралы второго рода
Предположим,
что кривая C задана
векторной функцией 
,
где переменная s −
длина дуги кривой. Тогда производная
векторной функции
представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой. В приведенной выше формуле α, β и γ − углы между касательной и положительными направлениями осей Ox, Oy и Oz, соответственно.
Введем
векторную функцию 
,
определенную на кривой C,
так, чтобы для скалярной функции
существовал
криволинейный интеграл
.
Такой интеграл
называется криволинейным
интегралом второго рода от
векторной функции 
вдоль
кривой C и
обозначается как
Таким
образом, по определению,
где 
−
единичный вектор касательной к
кривой C.
Последнюю
формулу можно переписать также в
векторной форме:
где
.
Если
кривая C лежит
в плоскости Oxy,
то полагая R
= 0,
получаем
6. Связь между кри 1-ого и 2-ого рода
Пусть AB –
кусочно-гладкая кривая, заданная
уравнениями
,
функции Р =
P(x, y) и Q = Q(x, y) кусочно
непрерывны вдоль кривой AB и
= {cos α, sin α} − единичный
касательный вектор к кривой AB в точке M(x, y), причем направление соответствует
направлению движения от А к В (α − угол между вектором в точке M(x, y) и осью Oх).
Тогда имеет место равенство
7. Вычисление кри-2 с помощью опред. Инт.
Пусть плоская кривая АВ задана параметрическими уравнениями
где
x(t) и y(t) непрерывны на отрезке
.
Предполагаем, что значение параметра
соответствует точке А, а значение
- точке В.
Теорема 5.2. Если функции x(t) и y(t) в параметрическом представлении кривой АВ непрерывно дифференцируемы, а функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны на кривой АВ, то КРИ-2 общего вида вдоль кривой АВ от функций P(x,y) и Q(x,y) существует, причем для него верно равенство
Пусть пространственная кривая задана параметрическими уравнениями
где
x(t), y(t) и z(t) функции, непрерывные на
отрезке
вместе со своими производными, причем
начальной точке А кривой соответствует
значение параметра
,
конечной точке В кривой – значение
параметра
Тогда КРИ-2 общего вида от непрерывных
функций P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) вдоль
пространственной кривой АВ существует
и для него верно равенство:
.
8. Формула Грина
Пусть C — положительно ориентированная кусочно-гладкая замкнутая кривая на плоскости, а D — область, ограниченная кривой C. Если функции P = P(x,y), Q = Q(x,y) определены в области D и имеют непрерывные частные производные
то
На символе интеграла часто рисуют окружность, чтобы подчеркнуть, что кривая C замкнута.