9. Условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути интегрирования.

Плоская область  наз односвязной если не имеет дыр. т. е. однородная.

Пусть ф-ция P(x,y) и Q(x,y)вместе со своими частными производными непрерывны в некоторой замкнутой, односвязной области  тогда следующие 4 условия эквиваленты, т. е. выполнение какого либо из них влечет остальные 3.

1. Для  замкнутой кусочногладкой кривой L в  значение криволинейного интеграла:

2. Для всех т. А и т. В области  значение интеграла не зависит от выбора пути интегрирования, целиком лежащего в .

3. Выражение Pdx+Qdy представляет собой полный дифференциал некоторых функций определенных в  существует ф-ция E=(х,у) опред в  такая, что dE = Pdx+Pdy

4. В области 

Отсюда следует, что условие 3 является необходимым и достаточным условием при котором интегралы 2 рода не зависят от выбора пути интегрирования.

10. Восстановление ф-ции по её полному дифференциалу.

Данное р-во явл. необход. и достат. условием того, что полный диф. ф-ции находится по формуле:

Где

Покажем, что при выполн усл (1) по известным частным производным ф-ции двух переменных мы можем найти саму ф-цию и с точностью до постоянного слагаемого. Для этого проект. правую часть равенства (2) с учетом того, что кри-2 не зависит от пути интегр при выполн условие 1.

Следов., если N(x;y), имеет место равенство:

, где C - произвольная постоянная. В качестве пути интегр.удобно взять ломаную MKN, где -фикс точка области G, N(x;y)-текущ точка области G.

Отрезок

.

Учитывая соотношение (3) получим формулу восстановления ф-ции по её полному дифференциалу

.

11. Множества, измеримые по Жордану

 Пусть  . Функция  , где

(1)

называется характеристической функцией множества E.

     Пусть  ограниченная функция. Если  , то (2)

Пусть  ограниченная функция. Положим функцию f на весь сегмент [a, b], образовав функцию

Если функция F интегрируема на сегменте [a, b], то

(3)

Ограниченное множество   , граница которого имеет лебегову меру 0, называется измеримым по Жордану, а интеграл

(4)

где [a, b] – произвольный сегмент, содержащий множество E, называется жордановой мерой множества E, или его длиной.

12. Определение кратного интеграла

Пусть на измеримом по Жордану мн-ве , определена ф-ция .

Опр 1. Диаметром мн-ва G из наз величина

Введем разбиение мн-ва G на частичные мн-ва:

Опр 2. Разбиение мн-ва G из наз , обладающих след св-ми: 1) 2)Ни одна пара этих подмн-в , , ни имеют общих внутренних точек.

Опр 3. Диаметром разбиения мн-ва G из наз величина

Сост для f интегральную сумму Римана

Опр 4. , (1) где

- n-мерная мера мн-ва наз интегр суммой Римана ф-ции f на мн-ве G из пространства

Опр 5. Опред n-кратным интегралом в смысле Римана наз

(2) к которому стремятся инт суммы (1) ф-ции, когда диаметры разбиений в независимости от выбора точек на множестве . Заметим, что инт суммы Римана (1) ф-ции f, зависят от разбиения мн-ва G и от выбора точки .

А n-кратный интеграл (2) не зависит ни от разбиения , ни от выбора точки . Обознач:

В частности, при n=2:

Опр 6. Если предел (2) сущ и конечен, и не зависит от способа разбиения мн-ва G, ни от выбора точки на частичных подмножествах, то ф-ция f наз. Интегрируемой в смысле Римана на мн-ве G.