36.Формула связи между бета и гамма функциями

Теорема 1. Связь между бетам и гамма функциями устанавливается формулой Эйлера

37. Определение интеграла Фурье

Пусть произвольная абсолютно интегрируемая на функция и функции , определены формулами Фурье :

Несобственный интеграл

являющийся функцией параметра , называют интегралом Фурье функции .

38. Сходимость интеграла Фурье в точке

Пусть выполняется условие:

1. абсолютно интегрирована на поле

2. Сужение функции кусочно-непрерывно на любом числовом отрезке из

3. В точке существует левосторонние и правосторонние производные

Тогда интеграл Фурье функции сходится в т. и имеет место формула:

Следствие

Если функция непрерывна в т. , то выполняется 1) и 3) условие, то интеграл Фурье функции сходится в т. и имеет место формула

39. Прямое и обратное преобразования Фурье

Если для комплекснозначной функции несобственный интеграл

Сходится в смысле главного значения при любом , то определяемую этим интегралом комплекснозначную функцию называют прямым преобразованием Фурье функции . Аналогично функцию

Которая определена на если несобственный интеграл сходится в смысле главного значения при любом , называют обратным преобразованием Фурье функции

40. Косинус- и синус- преобразования Фурье

Если действительная функция абсолютна интегрируема в промежутке , то определяемые несобственными интегралами функции

(1)

и

(2)

Заданные в промежутке , называют косинус-преобразованием Фурье и синус-преобразованием Фурье функции .

В силу абсолютной интегрируемости функции и оценок , , , несобственные интегралы в (1) и (2) сходятся абсолютно при любом .