- •1) Кусочно-гладкие кривые. Способы задания кривых.
- •2)Криволинейные интегралы первого рода
- •3)Механический, экономический и геометрический смыслы криволинейного интеграла первого рода.
- •4)Вычисление кри-1 с помощью определенного интеграла.
- •5. Криволинейные интегралы второго рода
- •6. Связь между кри 1-ого и 2-ого рода
- •7. Вычисление кри-2 с помощью опред. Инт.
- •8. Формула Грина
- •9. Условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути интегрирования.
- •10. Восстановление ф-ции по её полному дифференциалу.
- •11. Множества, измеримые по Жордану
- •12. Определение кратного интеграла
- •13. Вычисление двойного интеграла по прямоугольнику.
- •14. Вычисление двойного интеграла по компакту.
- •17. Замена переменных в двойных интегралах
- •18. Замена переменных в кратном интеграле
- •19. Кратные несобственные интегралы
- •20. Понятие поверхностных интегралов первого и второго рода
- •21.Существования поверхностноо интеграла 1го рода
- •22. Существование поверхностного интеграла второго рода
- •23. Связь между поверхностными интегралами первого и второго родов
- •24. Формула Остроградского-Гаусса
- •25. Формула Стокса
- •26. Сходимость функции двух переменных
- •27. Понятие определенного интеграла, зависящего от параметра
- •28. Предел, непрерывность, дифференцирование, интегрирование функций, заданных оизоп
- •29. Понятие несобственного интеграла, зависящего от параметра
- •30. Сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра
- •31.Эйлеров интеграл первого рода. Бета-функции.
- •32.Эйлеров интеграл второго рода. Гамма-функции.
- •33.Формулы приведения бета-функции
- •34. Дифференцирование гамма-функции.
- •35.Формула приведения гамма - функции
- •36.Формула связи между бета и гамма функциями
- •37. Определение интеграла Фурье
- •38. Сходимость интеграла Фурье в точке
- •39. Прямое и обратное преобразования Фурье
- •40. Косинус- и синус- преобразования Фурье
13. Вычисление двойного интеграла по прямоугольнику.
Теорема. Если существует двойной интеграл от функции по прямоугольнику D и при каждом фиксированном значении существует определенный интеграл
То существует повторный интеграл
Причем двойной интеграл равен повторному ,
14. Вычисление двойного интеграла по компакту.
Определение. Область интегрирования D называется правильной в направлении координатной оси Оу, если ее можно задать в виде
Где функции и непрерывны на отрезке и удовлетворяют неравенству
. Аналогично вводится понятие области, правильной в направлении координатной оси Ox.
Теорема. Если существует двойной интеграл от функции по области интегрирования D и при каждом фиксированном существует интеграл
То существует повторный интеграл
Причем верно равенство
.
17. Замена переменных в двойных интегралах
Замена переменных в двойном интеграле описывается формулой
где выражение ≠0 представляет собой так называемый якобиан преобразования (x,y)->(u,v), а S − образ области интегрирования R, который можно найти с помощью подстановки x=x(u,v), y=y(u,v) в определение области R. Отметим, что в приведенной выше формуле означает абсолютное значение соответствующего определителя. Предполагая, что преобразование координат (x,y)->(u,v) является взаимно-однозначным, обратное соотношение описывается якобианом
при условии, что знаменатель нигде не равен 0. Итак, замена переменных в двойном интеграле производится с помощью следующих трех шагов:
Найти образ S в новой системе координат (u,v) для исходной области интегрирования R;
Вычислить якобиан преобразования (x,y)->(u,v) и записать дифференциал в новых переменных;
Заменить в подынтегральном выражении исходные переменные x и y, выполнив, соответственно, подстановки x=x(u,v),и y=y(u,v)
18. Замена переменных в кратном интеграле
Предположим, что G - ограниченная измеримая область в Rn , отображение F:G--> Rn взаимно однозначно и непрерывно дифференцируемо, область G' =F(G) измерима. Пусть отображение F задается при помощи непрерывно дифференцируемых функций
Обозначим определитель матрицы частных производных этих функций – якобиан отображения F - через J(
J(
Кроме того предположим, что функция f ( ) = f (x1 , . . . , xn) непрерывна на - замыкании области G.
Тогда справедлива формула замены переменных в кратном интеграле
19. Кратные несобственные интегралы
Пусть G – область в , функция , интеграл не существует из-за того, что либо область G не ограничена, либо функция f не ограничена в области G, либо и то, и другое, но на каждом замкнутом кубируемом подмножестве функция f интегрируема по Риману. При выполнении всех перечисленных выше условий будем называть несобственным кратным интегралом