27. Понятие определенного интеграла, зависящего от параметра

Пусть функция интегрируема на отрезке при любых значениях параметра Тогда существует определенный интеграл

Называемый определенным интегралом, зависящим от параметра .

28. Предел, непрерывность, дифференцирование, интегрирование функций, заданных оизоп

Теорема (признак Дини предельного перехода под знаком определенного интеграла). Пусть выполняются условия:

1. При каждом фиксированном значении переменной из множества функция

является функцией одной переменной, непрерывной на отрезке

2. При функция на отрезке сходится (поточечно) к функции

3. При каждом фиксированном значении из отрезка функция является функцией одной переменной, которая, монотонно убывая (монотонно возрастая), сходится к значению предельной функции при ;

4. Предельная функция непрерывна.

Тогда заданная определенным интегралом, содержащим параметр, функция

сходится при и её предел

Теорема (о непрерывности функции, заданной определенным интегралом, зависящим от параметра, с постоянными пределами интегрирования). Пусть функция

непрерывна на множестве x Тогда заданная определенным интегралом с параметром функция

будет непрерывной.

Теорема Пусть выполняются условия:

1. при функция

непрерывна на множестве

2. при каждом фиксированном значении переменной из отрезка функция представляет собой функцию одной переменной, дифференцируемую на числовом промежутке

3. функция

является непрерывной.

Тогда заданная определенным интегралом, зависящим от параметра функция

непрерывно дифференцируема и её производная

Теорема (об интегрировании функции, заданной определенным интегралом, зависящим от параметра, с постоянными пределами интегрирования). Если функция

непрерывна на прямоугольнике то заданная определенным интегралом, зависящим от параметра, функция

интегрируема по Риману на отрезке . При этом имеет место формула

29. Понятие несобственного интеграла, зависящего от параметра

Несобственный интеграл первого рода

задан при всяком ненулевом вещественном . В соответствии с определением несобственного интеграла первого рода

Поэтому при несобственный интеграл (1) равен , а при несобственный интеграл (1) расходится.

В процессе интегрирования выступает в роли постоянной, то есть, является параметром. И мы говорим, что несобственный интеграл (1) зависит от параметра

Интеграл

в случае, когда хотя бы при одном значении параметра он является несобственным, назовем несобственным интегралом, зависящим от параметра.

30. Сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра

При допустимом фиксированном значении параметра из множества несобственный интеграл с параметром

является просто несобственным интегралом

Определение 1. Если несобственный интеграл (8) сходится, то будем говорить, что несобственный интеграл, зависящий от параметра, (7) сходится в точке . Если же несобственный интеграл (8) расходится, то будем говорить, что несобственный интеграл, зависящий от параметра, (7) расходится в точке .

Определение 2. Если несобственный интеграл, содержащий параметр, (7) сходится в каждой точке множества , то будем говорить, что несобственный интеграл, содержащий параметр, (7) сходится на множестве .

Теорема. (необходимый признак сходимости на множестве). Если несобственный интеграл, зависящий от параметра, (7) сходится на множестве , то при каждом фиксированном значении параметра из множества предел