- •Часть 1
- •Линейные электрические цепи постоянного
- •И однофазного синусоидального токов
- •Оглавление
- •1. Линейные электрические цепи постоянного тока
- •1.1. Электрическая цепь и ее элементы
- •1.2. Закон Ома для участка цепи с эдс
- •1.3. Расчет сложных электрических цепей постоянного тока
- •1.3.2. Метод узловых потенциалов
- •1.3.3. Метод контурных токов
- •1.3.4. Метод наложения
- •1.4. Пассивный и активный двухполюсники. Теорема об активном двухполюснике
- •1.5. Метод эквивалентного генератора
- •1.6. Линия электропередачи постоянного тока
- •2. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
- •2.1. Закон электромагнитной индукции
- •2.2. Получение синусоидальной эдс. Характеристики синусоидальных величин. Обозначения в цепях переменного тока
- •2.3. Действующее значение переменного тока
- •2.4. Представление синусоидальной функции времени вращающимся вектором. Векторные диаграммы
- •2.5. Основные сведения о комплексных числах
- •2.6. Представление синусоидальных функций времени комплексными числами
- •2.7. Способы задания синусоидального тока
- •2.8. Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей синусоидального тока
- •2.9. Понятие об активном сопротивлении. Синусоидальный ток в активном сопротивлении
- •2.10. Самоиндукция. Индуктивность. Синусоидальный ток в индуктивности
- •2.11. Синусоидальный ток в емкости
- •2.12. Последовательное соединение активного сопротивления, индуктивности и емкости
- •2.13. Параллельное соединение активного сопротивления, индуктивности и емкости
- •2.14. Пассивный двухполюсник в цепи синусоидального тока. Эквивалентные сопротивления и проводимости
- •2.15. Закон Ома в символической форме для произвольной цепи
- •2.16. О расчете цепей синусоидального тока
- •2.17. Резонансы в электрических цепях
- •2.18. Энергия и мощность в цепи синусоидального тока
2.5. Основные сведения о комплексных числах
Комплексным числом называется выражение вида
, (2.6)
где – обозначение комплексного числа; a и b – соответственно действительная и мнимая части комплексного числа; – мнимая единица.
Величины a и b часто обозначают следующим образом: a = Re , b = Im . Символы Re и Im – есть начальные буквы английских слов Real – действительный и Imaginary – мнимый.
Геометрически комплексное число изображается вектором на комплексной плоскости (рис. 2.8). Горизонтальная и вертикальная оси, отмеченные соответственно знаками + и +j, называются действительной (или вещественной) и мнимой. Действительная и мнимая составляющие комплексного числа представляют собой проекции вектора на эти оси. |
Рис. 2.8. Вектор на комплексной плоскости |
На рис. 2.8 с = – модуль комплексного числа, равный длине вектора, а = arg – аргумент комплексного числа. Так как а = c cos , а b = c sin , то = c (cos + j sin ) – тригонометрическая форма комплексного числа. С помощью формулы Эйлера последняя преобразуется в показательную форму . Применяется еще и полярная форма , в самой простой форме задающая модуль и аргумент комплексного числа.
Свойства мнимой единицы (рис. 2.9): , , , , и т.д., . |
Рис. 2.9. Единичный вектор в комплексной плоскости |
Два комплексных числа и называются сопряженными, если они имеют одинаковые модули и равные по величине, но разные по знаку аргументы (рис. 2.10):
, = . Изображающие их векторы симметричны относительно вещественной оси. Действия над комплексными числами. Сложение и вычитание производится над числами, записанными в алгебраической форме: |
Рис. 2.10. Сопряженные комплексные числа |
= , т.е. складываются по отдельности вещественные и мнимые части слагаемых: а = а1+а2, b = b1+b2. Операции сложения комплексных чисел соответствует сложение изображающих их векторов.
Сумма сопряженных комплексных чисел равна удвоенному значению вещественной части:
+ = .
Умножение и деление комплексных чисел удобнее всего производить в показательной форме. Модули при этом перемножаются или делятся, а аргументы складываются или вычитаются:
(2.7)
где с = с1 с2, = 1+ 2;
,
где , = 1 – 2 .
Что происходит с векторами при перемножении комплексных чисел?
Изобразим на комплексной плоскости два вектора: 1 – первый сомножитель и – результирующий (рис. 2.11). Последний получается умножением 1 на комплексное число с2е j 2.
На рис. 2.11 мы видим, что при умножении длина вектора возросла в с2 раз, а аргумент увеличился на 2. Рассматривая комплексное число как вектор, мы приходим к следующему выводу. При умножении вектора на комплексное число ае j , вектор растягивается в а раз и поворачивается на угол . |
Рис. 2.11. Перемножение комплексных чисел |
Так как , то при умножении вектора на j он поворачивается на угол 90 (рис. 2.12).
Произведение сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля комплексного числа: x , или
Иногда приходится производить умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме. Перемножение выполняется по правилам умножения многочленов с учетом того, что j2 = -1 |
Рис. 2.12. Умножение вектора на j |
=
.
При делении, чтобы получить результат, необходимо избавиться от мнимой единицы в знаменателе. Этого можно достичь умножением числителя и знаменателя на сопряженный знаменатель:
где ; .