2.17. Резонансы в электрических цепях

    Резонансом называют режим, когда в цепи, содержащей индуктивности и емкости, ток совпадает по фазе с напряжением. Входные реактивные сопротивление и проводимость равны нулю: x = ImZ = 0 и B = ImY = 0. Цепь носит чисто активный характер: Z = R; сдвиг фаз отсутствует ( = 0).

    В цепи, содержащей последовательно соединенные участки с индуктивным и емкостным характерами сопротивлений, резонанс называется резонансом напряжений. Рассмотрим простейшую цепь такого вида (рис. 2.23), которую часто называют последовательным контуром. Для нее резонанс наступает при x = x_L – x_C = 0 или x_L = x_C, откуда

                                                                  (2.33)

    Напряжения на индуктивности и емкости в этом режиме равны по величине и, находясь в противофазе, компенсируют друг друга. Все приложенное к цепи напряжение приходится на ее активное сопротивление (рис. 2.42, а).

Рис. 2.42. Векторные диаграммы при резонансе напряжений (а) и токов (б)

    Напряжения на индуктивности и емкости могут значительно превышать напряжения на входе цепи. Их отношение, называемое добротностью контура Q, определяется величинами индуктивного (или емкостного) и активного сопротивлений

.

`Добротность показывает, во сколько раз напряжения на индуктивности и емкости при резонансе превышают напряжение, приложенное к цепи. В радиотехнических цепях она может достигать нескольких сотен единиц.

    Из условия (2.33) следует, что резонанса можно достичь, изменяя любой из параметров – частоту, индуктивность, емкость. При этом меняются реактивное и полное сопротивления цепи, а вследствие этого – ток, напряжение на элементах и сдвиг фаз. Не приводя анализа формул, показываем графические зависимости некоторых из этих величин от емкости (рис. 2.43). Емкость , при которой наступает резонанс, можно определить из формулы (2.33):

.

    Если, например, индуктивность контура L = 0,2 Гн, то при частоте 50 Гц, резонанс наступит при емкости

мкФ.

Рис. 2.43. Зависимости параметров режима от емкости

    Аналогичные рассуждения можно провести и для цепи, состоящей из параллельно соединенных R, L и C (рис. 2.31, а). Векторная диаграмма ее резонансного режима приведена на рис. 2.42, б.

    Рассмотрим теперь более сложную цепь с двумя параллельными ветвями, содержащими активные и реактивные сопротивления (рис. 2.44, а).

Рис. 2.44. Разветвленная цепь (а) и ее эквивалентная схема (б)

    Для нее условием резонанса является равенство нулю ее реактивной проводимости: ImY = 0. Это равенство означает, что мы должны мнимую часть комплексного выражения Y приравнять к нулю.

    Определяем комплексную проводимость цепи. Она равна сумме комплексных проводимостей ветвей:

.

    Приравнивая к нулю выражение, стоящее в круглых скобках, получаем:

  или .                    (2.34)

    Левая и правая части последнего выражения представляют собой не что иное, как реактивные проводимости первой и второй ветвей B₁ и B₂. Заменяя схему на рис. 2.44, а эквивалентной (рис. 2.44, б), параметры которой вычисляем по формуле (2.31), и используя условие резонанса (B = B₁ – B₂ = 0), снова приходим к выражению (2.34).

    Схеме на рис. 2.44, б соответствует векторная диаграмма, приведенная на рис. 2.45.

Рис. 2.45. Векторная диаграмма резонансного режима разветвленной цепи

    Резонанс в разветвленной цепи называется резонансом токов. Реактивные составляющие токов параллельных ветвей противоположны по фазе, равны по величине и компенсируют друг друга, а сумма активных составляющих токов ветвей дает общий ток.

    Пример 2.23. Считая R₂ и x₃ известными, определить величину x₁, при которой в цепи наступит резонанс напряжений (рис. 2.46, а). Для резонансного режима построить векторную диаграмму.

Рис. 2.46. Электрическая цепь и ее векторная диаграмма

    Решение. При резонансе напряжение U₁ на индуктивном сопротивлении x₁ равно реактивной составляющей напряжения U_ab: I₁x₁ = I₁x_ab, откуда x₁ = x_ab. Последнее есть реактивное сопротивление последовательной эквивалентной схемы замещения участка ab:

.

    Задача может быть решена и символическим методом. В соответствии с условием резонанса напряжений, мы должны приравнять к нулю мнимую часть комплексного сопротивления цепи. Величина последнего равна

.

    Сумму всех коэффициентов при мнимой единице приравниваем к нулю:

, откуда .

    Построение векторной диаграммы начинаем с вектора I₁ (рис. 2.46, б). В том же направлении проводим вектор приложенного к цепи напряжения U – при резонансе они совпадают по фазе. Напряжение на индуктивности опережает ток на 90 , его вектор U₁ направляем вверх. Вектор U_ab проводим так, чтобы он в сумме с вектором U₁ давал вектор U. Ток I₂ совпадает по фазе с U_ab, а I₃ опережает последний на 90 . В сумме векторы I₂ и I₃ дают вектор I₁.