7. Теория потребления. Аксиомы теории потребления.

Теория потребления - микроэкономическая теория, выясняет основные свойства спроса потребителей в зависимости от цен товаров и дохода (бюджета) потребителя. Теория опирается на предположении, что покупатель всегда выбирает лучший потребительский набор на который может себе позволить. Понятие «может себе позволить» формализуется посредством бюджетного ограничения. Математическая модель, позволяющая ввести сравнение потребительских наборов необходимо для определения понятия«лучший потребительский набор» - это отношение предпочтения. Отношение предпочтения может быть представлено функцией полезности.

Функция полезности и бюджетное ограничение позволяют сформулировать основную задачу теории потребления - задачу максимизации полезности. Решение этой задачи - функция спроса Маршалла или функция спроса Вальраса ставит в соответствие каждой паре (цены, бюджет) оптимальный потребительскую корзину. Функция спроса Вальраса позволяет, в частности, получить функции Энгеля, функции спроса, функции перекрестного спроса.

Пусть - выпуклое множество, на котором определены интересы потребителя. Можно, например, считать, что представляет собой множество всех мыслимых наборов товаров, доступных потребителю. Любые два вектора потребитель может сравнить и сделать из них выбор. Этот выбор зависит от вкусов потребителя, его бюджета и цен на товар, поэтому будем считать, что на задано бинарное отношение , называемое отношением предпочтения. Запись (предпочтительнее) означает, что потребитель предпочитает набор набору или не делает между ними различия. Содержательный смысл отношения предпочтения требует выполнения следующих аксиом:

Аксиома 1. (не делает различия)

Аксиома 2. (транзитивность)

Аксиома 3. либо , либо , либо и то, и другое.

Если и , то будем писать . Отношение называют отношением безразличия. Если же , но не имеет места, то будем писать (строго). Отношение называют отношением строгого предпочтения.

Аксиома 4. Отношение предпочтения является непрерывным на , то есть множества , открыты в . Содержание этой аксиомы следующее: если два набора находятся в отношении строгого предпочтения, то при достаточно малом изменении каждого из них данное отношение сохраняется.

Функция , определенная на множестве называется функцией полезности, соответствующей отношения предпочтения , если . Нетрудно видеть, что если - функция полезности, а - возрастающая функция скалярного аргумента, то суперпозиция также является функцией полезности. Т.о. если для отношения предпочтения существует хотя бы одна функция полезности, то их существует бесконечно много.

Теорема Дебре. При выполнении аксиом 1-4 функция полезности существует. Без доказательства.

Аксиома 5 (аксиома ненасыщения). (т.е. ) .

. Это требование означает, если содержит не меньшее количество каждого товара, чем , то . В то же время, если содержит не меньшее количество каждого товара, а одного товара по крайней мере содержит больше, чем , то строго предпочтительнее .

В терминах функции полезности аксиома ненасыщения утверждает следующее: , .

Следующее требование связано с законом убывающей полезности.

Аксиома 6 (аксиома выпуклости). Пусть . Тогда .

В терминах функции полезности это допущение означает, что является выпуклым. Ф-ции, обладающие таким свойством, называются квазивогнутыми. Довольно часто на функцию полезности накладывают более сильные условия, считая ее вогнутой или даже строго вогнутой. В этом случае функция будет вогнутой (соответственно, строго вогнутой) по каждому аргументу. Последнее свойство непосредственно следует из закона убывающей полезности

Таким образом, функция полезности не является измерителем какой-то конкретной «полезности», но лишь дает представление о ранжировании (порядке) различных наборов, почему она и называется часто функцией порядковой или ординальной полезности.

Пример. Пусть - набор продуктов питания. - энергетическая ценность (в калориях) единицы -го продукта. . Считаем, что , если , то есть набор не менее калорийный, чем набор . Такое отношение предпочтения удовлетворяет аксиомам 1-6, а функция является функцией полезности, соответствующей введенному отношению предпочтения.