- •Предмет теоретической механики.
- •Элементы высшей математики.
- •Кинематика.
- •Кинематика точки.
- •Векторный способ задания движения точки.
- •Вектор скорости движущейся точки.
- •Вектор ускорения движущейся точки.
- •Координатный способ задания движения точки.
- •Связь между векторным и координатным способами задания движения.
- •Проекции вектора скорости движущейся точки.
- •Проекции вектора ускорения движущейся точки.
- •Естественный способ задания движения точки.
- •Алгебраическая величина скорости движущейся точки.
- •Связь между естественным и координатным способами задания.
- •Естественная система координат.
- •Кривизна. Радиус кривизны.
- •Касательное и нормальное и полное ускорения движущейся точки.
- •Классификация движения точки.
- •Равнопеременное движение точки.
- •Кинематика твердого тела.
- •Виды движения тела.
- •Поступательное движение тела.
- •Кинематика поступательного движения тела.
- •Вращательное движение тела. Кинематические характеристики тела при вращательном движении.
- •Равнопеременное вращательное движение тела.
- •Скорость точек вращающегося тела.
- •Ускорение точек вращающегося тела.
- •Вращательная скорость. Формула Эйлера.
- •Вращательное и осестремительное ускорение. Формула Ривальса.
- •Кинематика вращательного движения тела.
- •Плоское движение тела. Плоское движение тела– совокупность поступательного и вращательного движения.
- •Кинематические характеристики тела при плоском движении.
- •Скорость точек плоской фигуры.
- •Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •1. Доказательство существования мцс.
- •2. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мцс.
- •3. Способы определения положения мцс.
- •Ускорение точек плоской фигуры.
- •Мгновенный центр ускорений плоской фигуры.
- •1. Доказательство существования мцу.
- •2. Определение ускорений точек плоской фигуры с помощью мцу.
- •3. Способы определения положения мцу.
- •Кинематика плоского движения тела.
- •Касательное и нормальное ускорение точек плоской фигуры.
- •Сферическое движение тела. Углы Эйлера. Уравнения сферического движения тела.
- •Кинематические характеристики тела при сферическом движении.
- •Скорость точек тела при сферическом движении.
- •Ускорение точек тела при сферическом движении.
- •Свободное движение тела. Уравнения и кинематические характеристики свободного движения тела.
- •Скорость точек тела при свободном движении.
- •Ускорение точек тела при свободном движении.
- •Сложное движение точки. Основные понятия сложного движения точки.
- •Скорость точки при сложном движении.
- •Ускорение точки при сложном движении. Теорема Кориолиса.
- •Ускорение Кориолиса.
- •Сложное движение тела.
- •Сложение вращений вокруг пересекающихся осей.
- •Сложение вращений вокруг параллельных осей.
- •Пара вращений.
- •Сложение поступательных движений твердого тела.
- •Сложение поступательного и вращательного движений твердого тела.
- •1. Плоско параллельное движение.
- •2. Винтовое движение.
- •3. Свободное движение.
- •Рекомендуемая литература
- •Оглавление
Скорость точки при сложном движении.
Теорема 6 (о скорости точки при сложном движении). При сложном движении точки её абсолютная скорость равна векторной сумме переносной и относительной скоростей.
Пусть движение точки O относительно неподвижной системы координат Ox1y1z1 определяется радиус-вектором (рис. 46).
Тогда при сложном движении точки M в любой момент времени выполняется следующее тождество: .
Продифференцируем это векторное тождество по времени:
,
так как – скорости точки M относительно неподвижной системы координат, то есть, её абсолютной скорости; – скорости точки O относительно неподвижной системы координат.
.
В последнем выражении были использованы формулы Пуассона:
, , .
Здесь – вектор угловой скорости тела D.
И, наконец, – скорости той точки тела D, с которой в данный момент совпадает движущаяся по телу точка M, то есть, переносной скорости точки M. Что и требовалось доказать:
. (36)
Ускорение точки при сложном движении. Теорема Кориолиса.
Теорема 7 (об ускорении точки при сложном движении). При сложном движении точки её абсолютное ускорение равно векторной сумме трёх ускорений: переносного, относительного и Кориолиса.
Определим абсолютное ускорение точки M как полную производную по времени от её абсолютной скорости:
,
так как – ускорению точки O относительно неподвижной системы,
– угловому ускорению тела D или неразрывно связанной с ним подвижной системы координат Oxyz.
Кроме того, учтем, что – ускорению той точки тела D, с которой в данный момент совпадает движущаяся по телу точка M, то есть, переносному ускорению точки M. И, наконец, обозначив удвоенное векторное произведение угловой скорости тела D на относительную скорость точки M, как ускорение Кориолиса: , получим доказательство теоремы:
. (37)
Ускорение Кориолиса.
Ускорение Кориолиса характеризует изменение вектора относительной скорости точки M в её переносном движении и изменение вектора переносной скорости точки M в её относительном движении.
Рис. 47.
В приведенном примере изменение направления вектора относительной скорости точки M происходит за счет вращения диска (ar=0), то есть, при переносном движении точки. Изменение величины переносной скорости происходит за счет перемещения точки M по диску (e=0), то есть, при относительном движении. И то и другое характеризует ускорение Кориолиса.
Вектор ускорения Кориолиса равен удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения точки на линейную скорость её относительного движения:
, (38)
и, следовательно, вектор направлен по правилу правой руки (рис. 44).
Величина ускорения Кориолиса равна удвоенному произведению угловой скорости переносного движения точки на относительную её скорость и на синус угла между векторами этих характеристик:
. (39)
Отметим случаи, когда ускорение Кориолиса обращается в ноль:
e=0, то есть, переносное движение является поступательным;
vr=0, то есть, в те моменты времени, когда происходит изменение направления относительного движения;
, то есть, когда векторы угловой скорости переносного движения и линейной скорости относительного движения параллельны между собой.