- •Предмет теоретической механики.
- •Элементы высшей математики.
- •Кинематика.
- •Кинематика точки.
- •Векторный способ задания движения точки.
- •Вектор скорости движущейся точки.
- •Вектор ускорения движущейся точки.
- •Координатный способ задания движения точки.
- •Связь между векторным и координатным способами задания движения.
- •Проекции вектора скорости движущейся точки.
- •Проекции вектора ускорения движущейся точки.
- •Естественный способ задания движения точки.
- •Алгебраическая величина скорости движущейся точки.
- •Связь между естественным и координатным способами задания.
- •Естественная система координат.
- •Кривизна. Радиус кривизны.
- •Касательное и нормальное и полное ускорения движущейся точки.
- •Классификация движения точки.
- •Равнопеременное движение точки.
- •Кинематика твердого тела.
- •Виды движения тела.
- •Поступательное движение тела.
- •Кинематика поступательного движения тела.
- •Вращательное движение тела. Кинематические характеристики тела при вращательном движении.
- •Равнопеременное вращательное движение тела.
- •Скорость точек вращающегося тела.
- •Ускорение точек вращающегося тела.
- •Вращательная скорость. Формула Эйлера.
- •Вращательное и осестремительное ускорение. Формула Ривальса.
- •Кинематика вращательного движения тела.
- •Плоское движение тела. Плоское движение тела– совокупность поступательного и вращательного движения.
- •Кинематические характеристики тела при плоском движении.
- •Скорость точек плоской фигуры.
- •Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •1. Доказательство существования мцс.
- •2. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мцс.
- •3. Способы определения положения мцс.
- •Ускорение точек плоской фигуры.
- •Мгновенный центр ускорений плоской фигуры.
- •1. Доказательство существования мцу.
- •2. Определение ускорений точек плоской фигуры с помощью мцу.
- •3. Способы определения положения мцу.
- •Кинематика плоского движения тела.
- •Касательное и нормальное ускорение точек плоской фигуры.
- •Сферическое движение тела. Углы Эйлера. Уравнения сферического движения тела.
- •Кинематические характеристики тела при сферическом движении.
- •Скорость точек тела при сферическом движении.
- •Ускорение точек тела при сферическом движении.
- •Свободное движение тела. Уравнения и кинематические характеристики свободного движения тела.
- •Скорость точек тела при свободном движении.
- •Ускорение точек тела при свободном движении.
- •Сложное движение точки. Основные понятия сложного движения точки.
- •Скорость точки при сложном движении.
- •Ускорение точки при сложном движении. Теорема Кориолиса.
- •Ускорение Кориолиса.
- •Сложное движение тела.
- •Сложение вращений вокруг пересекающихся осей.
- •Сложение вращений вокруг параллельных осей.
- •Пара вращений.
- •Сложение поступательных движений твердого тела.
- •Сложение поступательного и вращательного движений твердого тела.
- •1. Плоско параллельное движение.
- •2. Винтовое движение.
- •3. Свободное движение.
- •Рекомендуемая литература
- •Оглавление
Равнопеременное движение точки.
Если при движении касательное ускорение точки постоянно: a=const, то такое её движение называется равнопеременным.
Проинтегрировав выражение (7) по времени, определим закон изменения скорости при равнопеременном движении:
. (9)
Подставив (9) в (7) и проинтегрировав его по времени, определим закон равнопеременного движении точки:
. (10)
Если равнопеременное движение точки ускоренное, то в выражениях (9) и (10) a>0, если – замедленное, то a<0.
Кинематика твердого тела.
Две задачи кинематики тела:
Нахождение уравнений различных видов движения тела и установление кинематических характеристик тела при этих видах его движения.
Определение скорости и ускорения любой точки тела в каждом виде его движения.
Виды движения тела.
Поступательное – движение тела, при котором любой его отрезок перемещается параллельно самому себе.
Вращательное – движение тела, при котором две точки тела (или неразрывно с ним связанные) остаются неподвижны.
Плоскопараллельное (плоское) – движение тела, при котором траектории всех точек тела лежат в параллельных плоскостях.
Сферическое – движение тела, при котором одна точка тела (или неразрывно с ним связанная) остаётся неподвижна.
Свободное – ничем не ограниченное движение тела.
Поступательное движение тела.
Рис. 15.
При исследовании поступательного движения тела D выберем точку O за систему отсчета (рис. 15). Движение произвольно выбранной точки A этого тела определяется радиус-вектором A.
Движение любой другой точки B этого тела определяется радиус-вектором B (рис. 15), связанным с радиус-вектором A следующим образом: B = A + AB.
Величина вектора AB не изменяется, так как тело D абсолютно твердое. Направление вектора AB не изменяется, так как тело D движется поступательно. Значит, вектор AB – постоянен, и, следовательно, траектории точек A и B совпадают при наложении (рис. 15).
Продифференцируем последнее выражение один, а затем и второй раз по времени, получим доказательство теоремы:
, .
, потому что этот вектор постоянен. Значит, скорости и ускорения всех точек тела, движущегося поступательно, одинаковы.
Кинематика поступательного движения тела.
1. Уравнения поступательного движения тела имеют вид:
x = x(t), y = y(t), z = z(t).
Рис. 16.
3. Скорость и ускорение любой точки тела при поступательном движении равны соответственно скорости и ускорению тела.
4. Картина распределения скоростей и ускорений по точкам тела, движущегося поступательно, представлена на рис. 16.
Вращательное движение тела. Кинематические характеристики тела при вращательном движении.
Рис. 17.
Любая точка тела, лежащая на его оси вращения (рис. 17), неподвижна.
Плоскость I неподвижна. Плоскость II «вморожена» в тело и вращается вместе с ним. Обе плоскости проходят через ось вращения.
Угол (рис. 17) между этими плоскостями полностью определяет положение вращающегося тела в пространстве. Угол измеряется в радианах. Если известно, как изменяется угол во времени, то говорится, что задан закон (уравнение) вращательного движения:
.
Угловой скоростью тела называется кинематическая характеристика , определяющая изменение угла во времени. Размерность угловой скорости – радиан в секунду [1/с=с-1]. Величина угловой скорости вращающегося тела равна первой производной по времени от угла поворота тела вокруг оси вращения:
. (11)
Вектор угловой скорости вращающегося тела направлен по оси его вращения по правилу правого винта (рис. 17).
Угловым ускорением тела называется кинематическая характеристика , определяющая изменение угловой скорости тела во времени. Размерность углового ускорения – радиан в секунду в квадрате [1/с2=с-2]. Величина углового ускорения вращающегося тела равна первой производной по времени от величины его угловой скорости:
. (12)
Вектор углового ускорения вращающегося тела направлен по оси его вращения в ту же сторону, что и вектор угловой скорости (рис. 17), когда вращение ускоренное, и в обратную сторону, когда – замедленное.